Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi G và H tương ứng là trọng

Bài tập ôn tập cuối năm (phần Hình học)

Bài 2 trang 125 Toán 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi G và H tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tâm giác. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC, AB.

a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương ứng thành A’, B’, C’.

b) Chứng minh rằng O qua phép vị tự F.

c) Tìm ảnh của O qua phép vị tự F.

d) Gọi A”, B”, C” lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH. A1, B1, C1 theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các tia AH, BH, CH với đường tròn (O). A'₁ , B'₁ , C'₁ tương ứng với chân các đường cao đi qua A, B, C. Tìm ảnh của A, B, C, A₁ , B₁ , C₁ qua phép vị tự tâm H tỉ số 1/2 .

e) Chứng minh 9 điểm A’, B’, C’, A”, B”,C”, A'₁ , B'₁ , C'₁ cùng thuộc một đường tròn (đường tròn này gọi là đường tròn Ơ – le của tam giác ABC).

Trả lời

Vậy phép vị tự tâm G, tỉ số k = – 1/2 biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

b) A’ là trung điểm của BC nên OA’ ⊥BC

Ta lại có BC // C’B’ nên OA’ ⊥ C’B’

⇒ ΔA’B’C’ thì OA’ là đường cao kẻ từ A’. Tương tự, OB’ là đường cao kẻ từ đỉnh B’, OC’ là đường cao kẻ từ B’. Suy ra O là trực tâm của ΔA’B’C’.

H là trực tâm của ΔABC và O là trực tâm của ΔA’B’C’ nên O là ảnh của H trong phép vị tự tâm G, tỉ số k

Suy ra 3 điểm O, G, H thẳng hàng.

Ta dễ dàng chứng minh được A'₁ , B'₁ , C'₁ theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng HA₁, HB₁, HC₁ nên:

e) Gọi A₂, B₂, C₂ theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của các điểm A, B, C qua tâm O của đường tròn.

Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác BCHA2 là hình bình hành, do đó H và A2 đối xứng qua A’

Từ (1), (2) và (3) ta có:

9 điểm A’, B’, C’, A”, B”, C’’, A'₁ , B'₁ , C'₁ theo thứ tự là ảnh của các điểm A₂ , B₂ , C₂, A , B , C , A₁ , B₁ , C₁ nằm trên đường tròn (O) nên 9 điểm A’, B’, C’, A”, B”, C’’, A_1^', B_1^', C_1^' nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn (O) trong phép vị tự