Chứng minh rằng nếu f(x): trang 219 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao

Luyện tập trang 219

Bài 47 (trang 219 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):

a) Cho f(x)=tanx. Tính f⁽ⁿ⁾(x)với n=1,2,3

b) Chứng minh rằng nếu f(x) = sin²x thì f⁽⁴ⁿ⁾(x) = -2^{4n -1}cos2x (1)

Lời giải:

a) f’(x) = 1 + tan²x

f’’(x) = 2tanx(1 + tan²x) = 2tanx + 2tan³x

f⁽³⁾(x) = 2(1 + tan²x) + 2.3tan²x(1 + tan²x)

= 2+ 2tan²x + 6tan²x+ 6tan⁴x = 2+ 8tan²x+ 6tan⁴x

b) Với n=1 ta có

f'(x) = 2sinx.cosx = sin2x

f’’(x) = 2cos2x

f⁽³⁾(x) = -4sin2x

f⁽⁴⁾(x) = -8cos2x

Vậy (1) đúng với n=1

Giả sử (1) đúng với n=k tức là :f^(4k)(x) = -2^{4k -1}cos2x

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, thật vậy ta có:

f^(4k+1)(x) = (f^4k(x)) = 2^4ksin2x

f^(4k+2)(x) = 2^4k+1cos2x

f^(4k+3)(x) = -2^4k+2sin2x

f^(4k+4)(x) = -2^4k+3cos2x

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.