X

Giải bài tập Toán 11

Gọi (C) là đồ thị của hàm số f(x): trang 221 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao


Câu hỏi và bài tập chương 5

Bài 53 (trang 221 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Gọi (C) là đồ thị của hàm số f(x) = x4 + 2x2 - 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :

a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2

b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành

c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -1/8.x + 3

d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ;-6)

Lời giải:

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao

*Với xo = 1 ta có f’(1) = 4.13 + 4.1 = 8

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

y – 2 = 8(x – 1) ⇔ y = 8x - 6

*với xo = -1 ta có f’(-1) = 4.(-1)3 + 4.(-1) = -8

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

y – 2 = -8(x + 1) ⇔ y = -8x – 6

b) Tiếp tuyến song song với trục hoành nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0. Suy ra:

f’(xo) = 0 ⇔ 4o3 + 4xo = 0 ⇔ 4xo(xo2 + 1) = 0 ⇔ xo = 0 ⇒ yo = - 1

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y = -(-1) = 0(x – 0) ⇔ y = -1

c) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -1/8.x + 3, nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra : y’ = 8 ⇔ 4x3 + 4x – 8 = 0 ⇔ 4(x – 1)(x2 + x + 2) = 0 ⇔ x = 1

⇒ y(1) = 2

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y - 2 = 8(x - 1) hay y = 8x - 6

d) Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(xo ; f(xo)) của đồ thị (C) là :

y = f’(xo)(x - xo) + f(xo) ⇔ y = (4xo3 + 4xo)(x - xo) + xo4 + 2xo2 - 1

Vì tiếp tuyến phải đi qua A(0 ;-6) nên ta có :

-6 = (4xo3 + 4xo)(0 - xo) + xo4 + 2xo2 - 1

⇔ 3xo4 + 2xo2 - 5 = 0 ⇔ xo2 = 1 ⇒ xo = ±1

Theo câu a) phương trình của hai tiếp tuyến lần lượt là:

y = 8x – 6 và y = - 8x – 6

Cách 2 : phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0 ;-6) với hệ số góc bằng k là y = k(x - 0) + (-6) hay y = kx - 6

Để đường thẳng (d)là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (c) ) thì ta phải tìm k sao cho :

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao

Thế (2) vào(1) ta được:

x4 + 2x2 – 1 = (4x3 + 4x ).x – 6

⇔ x4 + 2x2 – 1 = 4x4 + 4x2 – 6

⇔ - 3x4 - 2x2 + 5 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1

+)Với x = 1 => k = 8 nên phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là: y = 8x – 6

+) Với x = -1 thì k = - 8 nên phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là: y = -8x – 6

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 11 sách nâng cao hay khác: