Gọi (C) là đồ thị của hàm số f(x): trang 221 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao

Câu hỏi và bài tập chương 5

Bài 53 (trang 221 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Gọi (C) là đồ thị của hàm số f(x) = x⁴ + 2x² - 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :

a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2

b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành

c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -1/8.x + 3

d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ;-6)

Lời giải:

*Với x_o = 1 ta có f’(1) = 4.1³ + 4.1 = 8

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

y – 2 = 8(x – 1) ⇔ y = 8x - 6

*với x_o = -1 ta có f’(-1) = 4.(-1)³ + 4.(-1) = -8

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

y – 2 = -8(x + 1) ⇔ y = -8x – 6

b) Tiếp tuyến song song với trục hoành nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0. Suy ra:

f’(x_o) = 0 ⇔ 4_o³ + 4x_o = 0 ⇔ 4x_o(x_o² + 1) = 0 ⇔ x_o = 0 ⇒ y_o = - 1

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y = -(-1) = 0(x – 0) ⇔ y = -1

c) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -1/8.x + 3, nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra : y’ = 8 ⇔ 4x³ + 4x – 8 = 0 ⇔ 4(x – 1)(x² + x + 2) = 0 ⇔ x = 1

⇒ y(1) = 2

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y - 2 = 8(x - 1) hay y = 8x - 6

d) Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x_o ; f(x_o)) của đồ thị (C) là :

y = f’(x_o)(x - x_o) + f(x_o) ⇔ y = (4x_o³ + 4x_o)(x - x_o) + x_o⁴ + 2x_o² - 1

Vì tiếp tuyến phải đi qua A(0 ;-6) nên ta có :

-6 = (4x_o³ + 4x_o)(0 - x_o) + x_o⁴ + 2x_o² - 1

⇔ 3x_o⁴ + 2x_o² - 5 = 0 ⇔ x_o² = 1 ⇒ x_o = ±1

Theo câu a) phương trình của hai tiếp tuyến lần lượt là:

y = 8x – 6 và y = - 8x – 6

Cách 2 : phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0 ;-6) với hệ số góc bằng k là y = k(x - 0) + (-6) hay y = kx - 6

Để đường thẳng (d)là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (c) ) thì ta phải tìm k sao cho :

Thế (2) vào(1) ta được:

x⁴ + 2x² – 1 = (4x³ + 4x ).x – 6

⇔ x⁴ + 2x² – 1 = 4x⁴ + 4x² – 6

⇔ - 3x⁴ - 2x² + 5 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ x = ±1

+)Với x = 1 => k = 8 nên phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là: y = 8x – 6

+) Với x = -1 thì k = - 8 nên phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là: y = -8x – 6