Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau

---

Toán lớp 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) y = 2 + 3x - x³ ;

b) y = -x³ + 4x² - 4x

c) y = x³ + x² + 9x ;

d) y = -2x³ + 5

Lời giải:

a) Hàm số y = -x³ + 3x + 2.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -3x² + 3.

y' = 0 ⇔ x = ±1.

Trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên (-1 ; 1), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y_CĐ = 4 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 ; y_CT = 0.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

Ta có : 2 + 3x – x³ = 0 ⇔

Vậy giao điểm của đồ thị với trục Ox là (2; 0) và (-1; 0).

y(0) = 2 ⇒ giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2).

Đồ thị hàm số :

b) Hàm số y = -x³ + 4x² - 4x.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

y' = -3x² + 8x - 4;

Trên các khoảng (-∞; 2/3) và (2; +∞) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên (2/3; 2) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

+ Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, f_CD = 0;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2/3; f_CT =

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

Ta có : -x³ + 4x² - 4x = 0 ⇔ -x(x - 2)² = 0 ⇔

Vậy giao điểm của đồ thị với Ox là (0;0) và (2;0).

+ y(1) = -1. Vậy (1; -1) thuộc đồ thị hàm số.

+ y(3) = -3. Vậy (3;-3) thuộc đồ thị hàm số

y(-1) = -1 ⇒ (-1; -1) thuộc đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số :

c) Hàm số y = x³ + x² + 9x.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 3x² + 2x + 9 > 0

⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R.

+ Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị hàm số.

+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại (0 ; 0).

+ Đồ thị hàm số đi qua (1; 11) ; (-1; -9)

d) Hàm số y = 2x³ + 5.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 6x² ≥ 0 ∀ x ∈ R

Hàm số đồng biến trên R

Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0;5)

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;7) và (-1;3)

Kiến thức áp dụng