Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Toán lớp 12 Bài ôn tập chương I
Bài 6 (trang 45 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2
b) Giải phương trình f'(x - 1) > 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f'(x0) = -6.
Lời giải:
a) Khảo sát hàm số f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
f'(x) = -3x2 + 6x + 9
f'(x) = 0 ⇔ -3x2 + 6x + 9 = 0 ⇔ x = -1; x = 3
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên (-1; 3)
Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1) và (3; +∞).
Hàm số đạt cực đại tại x = 3, yCĐ = 29.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1; yCT = -3.
- Đồ thị:
+ Giao với trục tung tại (0; 2).
+ Đi qua các điểm (-2; 4); (2; 24).
b) f’(x) = -3x2 + 6x + 9.
⇒ f’(x – 1) = -3(x – 1)2 + 6.(x – 1) + 9.
Ta có: f'(x - 1) > 0
⇔ -3(x - 1)2 + 6(x - 1) + 9 > 0
⇔ -3(x2 - 2x + 1) + 6x - 6 + 9 > 0
⇔ -3x2 + 6x - 3 + 6x - 6 + 9 > 0
⇔ -3x2 + 12x > 0
⇔ -x2 + 4x > 0
⇔ x(4 - x) > 0 ⇔ 0 < x < 4
c) Ta có: f"(x) = -6x + 6
Theo bài: f"(x0) = -6 ⇔ -6x0 + 6 = -6 ⇔ x0 = 2
Tại y0 = 2, f’(2) = -3.22 + 6.2 + 9 = 9 ; f(2) = -23 + 3.22 + 9.2 + 2 = 24.
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ y0 = 2 là :
y = 9(x - 2) + 24 hay y = 9x + 6.