X

Giải bài tập Toán 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 1


Toán lớp 12 Bài ôn tập chương I

Bài 7 (trang 45-46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

y = x3 + 3x2 + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m:

x3 + 3x2 + 1 = m/2

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 + 1

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 3x2 + 6x = 3x(x + 2)

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2

+ Giới hạn:

Giải bài 7 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

+ Bảng biến thiên:

Giải bài 7 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = -2 ; y = 5.

- Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (–3; 1), (1; 5).

Giải bài 7 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

b) Số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + 1 = m/2 bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m/2.

Từ đồ thị ta có:

+ Đường thẳng cắt đồ thị tại 1 điểm khi và chỉ khi :

Giải bài 7 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ phương trình có 1 nghiệm.

+ Để đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi :

Giải bài 7 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ Phương trình có hai nghiệm.

+ Với Giải bài 7 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 ⇔ 2 < m < 10.

⇒ Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm

⇒ Phương trình có ba nghiệm phân biệt.

c) Điểm cực đại A(-2; 5) và điểm cực tiểu B(0; 1).

⇒ vtcp của đường thẳng AB: Giải bài 7 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ vtpt của AB: Giải bài 7 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Đường thẳng AB : qua A( -2 ; 5) và có VTPT Giải bài 7 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 nên có phương trình:

2(x+2)+ 1( y – 5) = 0 hay 2x + y - 1 = 0

Xem thêm các bài giải bài tập Toán 12 hay khác: