Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, AC = m, BD = n. Chứng minh: m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2)

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 1: Định lí côsin và định lí sin trong tam giác. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 8 trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, AC = m, BD = n. Chứng minh: m² + n² = 2(a² + b²).

Lời giải:

Xét tam giác ABC, có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cosB (định lí cos)

⇔ m² = a² + b² – 2.a.b.cosB (1)

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC = b,

Vì ⇒ cosA = – cosB ⇒ cosA + cosB = 0

Xét tam giác ABD, có:

BD² = AB² + AD² – 2.AB.AD.cosA (định lí cos)

⇔ n² = a² + b² – 2.a.b.cosA (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

m² + n² = a² + b² – 2.a.b.cosB + a² + b² – 2.a.b.cosB

⇔ m² + n² = 2(a² + b²) – 2.a.b.(cosB + cosA)

⇔ m² + n² = 2(a² + b²) – 2.a.b.0

⇔ m² + n² = 2(a² + b²).