Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.13 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BE}.$

Lời giải:

Ta có:

+) D là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$

+) E là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}$

Do đó $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}=2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}\right)=2\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 3\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{BE}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$

+) Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$

Mà $\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}-\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CA}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$

+) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\left(\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}\right)-\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}$

Vậy $\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE};$$\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}$ và $\overrightarrow{CA}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}.$