Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm K thoả mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}.$

b) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn

Lời giải:

a)

Gọi I là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC.

Khi đó $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{KI}$ và $\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{KH}$

$\Rightarrow \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\left(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}\right)+2\left(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\right)$

$=2\overrightarrow{KI}+2.2\overrightarrow{KH}$$=2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{KH}$

Mà $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}.$

Nên $2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{KI}=-4\overrightarrow{KH}$

$\Rightarrow \overrightarrow{KI}=-2\overrightarrow{KH}$

Do đó điểm K nằm giữa hai điểm I và H sao cho KI = 2KH.

Vậy ta có điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$ như hình vẽ.

b)

Chứng minh tương tự câu a ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}+3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}+4\overrightarrow{MH}$

$=2\left(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KI}\right)+4\left(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KH}\right)$

$=2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KH}$

$=6\overrightarrow{MK}+\left(2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{KH}\right)$

Mà $2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{0}$ (câu a)

Nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}+3\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MK}$

Lại có: $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$

$\iff$ 6MK = CB

$\iff KM=\frac{BC}{6}$

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm K, bán kính bằng $\frac{BC}{6}$ như hình vẽ.