Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác


Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng MD+ME+MF=32MO.

Lời giải:

Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên ABC^=ACB^=60°

Mà PQ // AB nên MQK^=ABC^=60°,

HK // AC nên MKQ^=ACB^=60°

Tam giác MQK có: MQK^=MKQ^=60° nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

MQ+MK=2MD (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) MH+MI=2MF (2)

+) MP+MJ=2ME (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

MQ+MK+MH+MI+MP+MJ=2MD+2MF+2ME

2MD+MF+ME=MQ+MI+MK+MJ+MH+MP

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

MI+MQ=MB

Tương tự ta có MK+MJ=MC;MH+MP=MA

Khi đó 2MD+MF+ME=MB+MC+MA

MD+MF+ME=12MB+MC+MA

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên MB+MC+MA=3MO

MD+MF+ME=12.3MO=32MO.

Vậy MD+ME+MF=32MO.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: