Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.17 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

+) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow$ MN // AC và $MN=\frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EA}$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA}\right)$ (quy tắc ba điểm)

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AA}}$ (quy tắc ba điểm)

$=\frac{1}{2}.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

Do đó $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{0}$

+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{RG}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{N{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{Q{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{S{G}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{G^{\text{'}}N}+\overrightarrow{G^{\text{'}}Q}+\overrightarrow{G^{\text{'}}S}=\overrightarrow{0}$

Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:

+) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{G^{\text{'}}N};$

+) $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{G^{\text{'}}Q};$

+) $\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{RG}+\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{G^{\text{'}}S};$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{RG}+3.\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{G^{\text{'}}N}+\overrightarrow{G^{\text{'}}Q}+\overrightarrow{G^{\text{'}}S}$

$=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{RG}\right)+3.\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\left(\overrightarrow{G^{\text{'}}N}+\overrightarrow{G^{\text{'}}Q}+\overrightarrow{G^{\text{'}}S}\right)$

$=\overrightarrow{0}+3.\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{0}$

$=3.\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}$

+) Lại có $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{0}$ (chứng minh trên)

Nên $3\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$

Suy ra G và G' trùng nhau.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.