Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O


Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH=2OM.

b) Chứng minh rằng OA+OB+OC=OH.

c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O

a) Kẻ đường kính AD.

Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD^=ACD^=90°

Hay BD AB, CD AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH AC, CH AB

BH /// CD và CH // BD

BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

OM // AH và (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ AHOM có:

+ Cùng phương, cùng hướng

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O

b) Vì M là trung điểm của BC nên OB+OC=2OM

AH=2OM (câu a)

OB+OC=AH

OA+OB+OC=OA+AH

OA+OB+OC=OH.

Vậy OA+OB+OC=OH.

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA+OB+OC=3OG.

OA+OB+OC=OH (câu b)

Suy ra OH=3OG

Khi đó OHOG cùng phương, cùng hướng

O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: