Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$

b) Xác định điểm N thoả mãn $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}.$

Lời giải:

a)

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}\right)$

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MK}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=2.2\overrightarrow{MK}=4\overrightarrow{MK}.$

Mà $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$

Do đó $4\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}$

Suy ra M ≡ K.

Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).

b)

Ta có: $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=4\overrightarrow{NA}-2\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{NC}$

$=4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{NC}$

$=2\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{NC}$

$=\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC}\right)$

Gọi H là trung điểm của AC, khi đó $\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{NH}$

$\Rightarrow 4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{AB}+2.\overrightarrow{NH}$

$=\left(\overrightarrow{NA}+2.\overrightarrow{NH}\right)-2\overrightarrow{AB}$

Giả sử P là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{PA}+2.\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{0}$

Khi đó $\overrightarrow{NA}+2.\overrightarrow{NH}=\left(\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PA}\right)+2\left(\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PH}\right)$

$=3\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PH}$

$=3\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{0}$

$=3\overrightarrow{NP}$

$\Rightarrow 4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=3\overrightarrow{NP}-2\overrightarrow{AB}$

Mà $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}.$

Nên $3\overrightarrow{NP}-2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow 3\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{NP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho $\overrightarrow{AQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AQ}$

Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn $\overrightarrow{AQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ và P thỏa mãn $\overrightarrow{PA}+2.\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{0}$, H là trung điểm của AC).