Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm

Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm và có một tiêu điểm là F(5; 0).

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 22: Ba đường conic

Bài 7.32 trang 46 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm $M\left(3\sqrt{2};-4\right)$ và có một tiêu điểm là F₂(5; 0).

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (H) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (trong đó a, b > 0)

Do (H) có một tiêu điểm là F₂(5; 0) nên ta có:

c = 5 ⇒ b² + a² = c² = 25 ⇔ a² = 25 – b²

Vì (H) đi qua điểm $M\left(3\sqrt{2};-4\right)$ nên ta có

$\frac{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(-4\right)}^2}{b^2}=1\iff \frac{18}{a^2}-\frac{16}{b^2}=1$ (1)

Đặt t = b² (t > 0) ⇒ a² = 25 – t. Thay vào (1) ta được

$\frac{18}{25-t}-\frac{16}{t}=1$

⇒ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t

⇔ 18t – 400 + 16t = 25t – t²

⇔ t² + 9t – 400 = 0

⇔ t = 16 (thỏa mãn) hoặc t = –25 (không thỏa mãn)

Do đó, b² = t = 16, a² = 25 – t = 9.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.