Cho điểm M(x0; y0) thuộc elip (E) có phương trình trang 29 SBT Toán lớp 10 Tập 2


Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E) có phương trình .

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 22: Ba đường conic

Bài 7.36 trang 47 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Cho điểm M(x0; y0) thuộc elip (E) có phương trình x22+y21=1.

a) Tính MF12 – MF22 theo x0; y0. Từ đó tính MF1, MF2, theo x0; y0.

b) Tìm điểm M sao cho MF2 = 2MF1.

c) Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai đểm F1; F2 (tức là góc F1MF2^) là lớn nhất ?

Lời giải:

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có

b = 1, a=2,c=a2-b2=2-1=1.

(E) có hai tiêu điểm là F1(–1; 0); F2(1; 0).

a)

Ta có:

MF12 = (x0 + 1)2 + (y0 – 0)2 = (x0 + 1)2 + y02

MF22 = (x0 – 1)2 + (y0 – 0)2 = (x0 – 1)2 + y02

MF12 – MF22

= (x0 + 1)2 + y02 – [(x0 – 1)2 + y02]

= (x0 + 1)2 – (x0 – 1)2

= x02 + 2x0 + 1 – (x02 – 2x0 + 1)

= 4x0.

Mặt khác, do M thuộc (E) nên ta có:

MF1 + MF2 = 2a = 22 (1)

Mà: (MF1 – MF2)(MF1 + MF2) = MF12 – MF22

MF1-MF2=MF12-MF22MF1+MF2=4xo22=2xo (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta có:

2MF1 = 22 + 2xo

⇔ MF1 = 2 + xo2

⇒ MF2 = 22-2-xo2=2-xo2.

b)

Sử dụng kết quả của phần a) ta có:

Cho điểm M(x0; y0) thuộc elip (E) có phương trình trang 29 SBT Toán lớp 10 Tập 2

Mặt khác do M thuộc (E) nên ta có:

Cho điểm M(x0; y0) thuộc elip (E) có phương trình trang 29 SBT Toán lớp 10 Tập 2

Vậy M-23;73 hoặc M-23;-73.

c)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác MF1F2, ta có

Cho điểm M(x0; y0) thuộc elip (E) có phương trình trang 29 SBT Toán lớp 10 Tập 2

Ta có: xo22=1-yo21 ⇔ 0 ≤ x02 ≤ 2 ⇒ 4 – x02 > 0.

Suy ra cosF1MF2^0F1MF2^900

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x0 = 0 ⇒ y0 = ±1

Vậy M(0; 1) hoặc M(0; –1) thì M nhìn hai tiêu điểm dưới góc nhìn lớn nhất.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: