Cho điểm M(x0; y0) thuộc elip (E) có phương trình trang 29 SBT Toán lớp 10 Tập 2

Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E) có phương trình .

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 22: Ba đường conic

Bài 7.36 trang 47 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc elip (E) có phương trình $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ .

a) Tính MF₁² – MF₂² theo x₀; y₀. Từ đó tính MF₁, MF₂, theo x₀; y₀.

b) Tìm điểm M sao cho MF₂ = 2MF₁.

c) Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai đểm F₁; F₂(tức là góc $\hat{F_{1} M F_{2}}$ ) là lớn nhất ?

Lời giải:

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có

b = 1, $a = \sqrt{2}, c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{2 - 1} = 1$ .

(E) có hai tiêu điểm là F₁(–1; 0); F₂(1; 0).

Ta có:

MF₁² = (x₀ + 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ + 1)² + y₀²

MF₂² = (x₀ – 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ – 1)² + y₀²

MF₁² – MF₂²

= (x₀ + 1)² + y₀² – [(x₀ – 1)² + y₀²]

= (x₀ + 1)² – (x₀ – 1)²

= x₀² + 2x₀ + 1 – (x₀² – 2x₀ + 1)

= 4x₀.

Mặt khác, do M thuộc (E) nên ta có:

MF₁ + MF₂ = 2a = $2 \sqrt{2}$ (1)

Mà: (MF₁ – MF₂)(MF₁ + MF₂) = MF₁² – MF₂²

$\Rightarrow M F_{1} - M F_{2} = \frac{M F_{1}^{2} - M F_{2}^{2}}{M F_{1} + M F_{2}} = \frac{4 x_{o}}{2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} x_{o}$ (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta có:

2MF₁ = $2 \sqrt{2}$ + $\sqrt{2} x_{o}$

⇔ MF₁ = $\sqrt{2}$ + $\frac{x_{o}}{\sqrt{2}}$

⇒ MF₂ = $2 \sqrt{2} - \sqrt{2} - \frac{x_{o}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - \frac{x_{o}}{\sqrt{2}}$ .

Sử dụng kết quả của phần a) ta có:

Mặt khác do M thuộc (E) nên ta có:

Vậy $M (- \frac{2}{3}; \frac{\sqrt{7}}{3})$ hoặc $M (- \frac{2}{3}; - \frac{\sqrt{7}}{3})$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác MF₁F₂, ta có

Ta có: $\frac{x_{o}^{2}}{2} = 1 - y_{o}^{2} \leq 1$ ⇔ 0 ≤ x₀² ≤ 2 ⇒ 4 – x₀² > 0.

Suy ra $\cos \hat{F_{1} M F_{2}} \geq 0 \Rightarrow \hat{F_{1} M F_{2}} \leq 90^{0}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x₀ = 0 ⇒ y₀ = ±1

Vậy M(0; 1) hoặc M(0; –1) thì M nhìn hai tiêu điểm dưới góc nhìn lớn nhất.