Cho dãy số (un) biết u1 = 1 trang 56 SBT Toán 11

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Bài 44 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 1, $u_{n} = \frac{1}{3} u_{n - 1} + 1$ với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2. Đặt $v_{n} = u_{n} - \frac{3}{2}$ với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của (v_n), (u_n).

c) Tính tổng S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀.

Lời giải:

a) Ta có $v_{1} = u_{1} - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}$

$v_{n} = u_{n} - \frac{3}{2}$ $= \frac{1}{3} u_{n - 1} + 1 - \frac{3}{2} = \frac{1}{3} u_{n - 1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} (u_{n - 1} - \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} v_{n - 1}$ với mọi n ∈ ℕ^*, n ≥ 2.

Vậy dãy số (v_n) là cấp số nhân với số hạng đầu $v_{1} = - \frac{1}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{3}$ .

b) Ta có: $v_{n} = v_{1} . q^{n - 1} = - \frac{1}{2} . {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{- 1}{{2.3}^{n - 1}}$ .

Từ $v_{n} = u_{n} - \frac{3}{2}$ , suy ra $u_{n} = v_{n} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{{2.3}^{n - 1}} = \frac{{3.3}^{n - 1} - 1}{{2.3}^{n - 1}} = \frac{3^{n} - 1}{{2.3}^{n - 1}}$ .

c) Ta có S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀

_{$= (v_{1} + \frac{3}{2}) + (v_{2} + \frac{3}{2}) + (v_{3} + \frac{3}{2}) + ... + (v_{10} + \frac{3}{2})$}

= (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₁₀) + $\frac{3}{2} .10$

Cho dãy số (un) biết u1 = 1 trang 56 SBT Toán 11

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Cấp số nhân Cánh diều hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯