Cho hình lăng trụ đều ABC A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Biết

Cho hình lăng trụ đều có cạnh đáy bằng a. Biết . Tính .

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian - Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh đáy bằng a. Biết $d (A (A^{'} B C^{'})) = \frac{a \sqrt{57}}{12}$ . Tính $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}$ .

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên A'I.

Ta có: BC ⊥ AI và BC ⊥ AA' $\Rightarrow$ BC ⊥ (A'AI) $\Rightarrow$ (A'BC) ⊥ (A'AI).

Mặt khác (AB'C) $\cap$ (A'AI) = A'I và AH ⊥ A'I.

Nên $d (A, (A' B C)) = A H = \frac{a \sqrt{57}}{12}$

∆ABC đều cạnh a $\Rightarrow A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ và $S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Xét tam giác A'AI vuông tại A, ta có:

$\frac{1}{A' A^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} - \frac{1}{A I^{2}} = \frac{144}{57 a^{2}} - \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{68}{57 a^{2}} \Rightarrow A A' = \frac{a \sqrt{57}}{2 \sqrt{17}}$ .

Do đó $V_{A B C . A' B' C'} = S_{A B C} . A A' = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a \sqrt{57}}{2 \sqrt{17}} = \frac{a^{3} \sqrt{171}}{8 \sqrt{17}}$

Vậy $V_{A B C . A' B' C'} = \frac{a^{3} \sqrt{171}}{8 \sqrt{17}}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯