Cho hàm số f(x) = x^2-x khi x nhỏ hơn hoặc bằng 0

Cho hàm số f(x) = với m là tham số. Tìm m để hàm số có đạo hàm tại mọi x ℝ.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 9 - Kết nối tri thức

Bài 9.44 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = Cho hàm số f(x) = x^2-x khi x nhỏ hơn hoặc bằng 0 với m là tham số. Tìm m để hàm số có đạo hàm tại mọi x $\in$ ℝ.

Lời giải:

+) Với x < 0 thì f(x) = x² – x. Có f'(x) = 2x – 1.

+) Với x > 0 thì f(x) = −x³ + mx. Có f'(x) = −3x² + m.

Hàm số có đạo hàm tại mọi x $\in$ ℝ khi và chỉ khi tồn tại f'(0).

Ta đi tính đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm x = 0.

Có $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ $= \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{3} + m x}{x}$ $= \lim_{x \to 0^{+}} (- x^{2} + m) = m$ .

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ $= \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} - x}{x}$ $= \lim_{x \to 0^{-}} (x - 1) = - 1$ .

Do vậy hàm số có đạo hàm tại mọi x $\in$ ℝ khi và chỉ khi m = −1.

Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 9 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯