Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và C(0; −4; 0)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và C(0; −4; 0).

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối chương 2

Bài 42 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và C(0; −4; 0).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tính chu vi tam giác ABC.

e) Tính cos $\hat{B A C}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A B}$ = (1; 1; 1); $\vec{A C}$ = (−1; −4; −1); k $\vec{A C}$ = (−k; −4k; −k).

Nhận thấy $\vec{A B}$ ≠ k $\vec{A C}$ với mọi k ∈ ℝ.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Gọi tọa độ điểm D là D(x; y; z). Ta có: $\vec{D C}$ = (−x; −4 – y; −z).

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{A B} = \vec{D C}$ ⇔ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và C(0; −4; 0)

Vậy D(−1; −5; −1).

c) Gọi G(x_G; y_G; z_G) là trọng tâm tam giác ABC, lúc này ta có:

x_G = $\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}$ = $\frac{1 + 2 + 0}{3}$ = 1;

y_G = $\frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$ = $\frac{0 + 1 + (- 4)}{3}$ = −1;

z_G = $\frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3}$ = $\frac{1 + 2 + 0}{3}$ = 1.

Vậy tọa độ của điểm G(1; −1; 1).

d) Ta có: AB = | $\vec{A B}$ | = $\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{3}$ ;

AC = | $\vec{A C}$ | = $\sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + {(- 1)}^{2}}$ = 3 $\sqrt{2}$ ;

BC = | $\vec{B C}$ | = $\sqrt{{(0 - 2)}^{2} + {(- 4 - 1)}^{2} + {(0 - 2)}^{2}}$ = $\sqrt{33}$ .

Vậy chu vi tam giác ABC là: $\sqrt{3}$ + 3 $\sqrt{2}$ + $\sqrt{33}$ .

e) Trong tam giác ABC, ta có:

cos $\hat{B A C}$ = $\cos (\vec{A B}, \vec{A C})$ = = $\frac{1. (- 1) + 1. (- 4) + 1. (- 1)}{\sqrt{3} . 3 \sqrt{2}}$ = $\frac{- \sqrt{6}}{3} .$

Lời giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 2 hay khác: