Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây

❮ Bài trước Bài sau ❯

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn (Hình 11). Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L (inch). Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 inch (1 inch = 2,54 cm). Gọi F là độ lớn của các lực căng , trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số là L.

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Bài 9* trang 61 SBT Toán 12 Tập 1: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn (Hình 11). Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L (inch). Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 inch (1 inch = 2,54 cm). Gọi F là độ lớn của các lực căng $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}},$ $\vec{F_{3}}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số là L.

a) Xác định công thức tính hàm số F = F(L).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số F = F(L).

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu lực căng tối đa là 10 N.

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây

Lời giải:

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây

Gọi A₁, B₁, C₁ lần lượt là các điểm sao cho $\vec{O A_{1}} = \vec{F_{1}}$ , $\vec{O B_{1}} = \vec{F_{2}}$ , $\vec{O C_{1}} = \vec{F_{3}}$ . Khi đó, hai vectơ $\vec{O A}, \vec{O A_{1}}$ cùng phương, do đó tồn tại số k ≠ 0 sao cho: $\vec{O A_{1}} = k \vec{O A}$ .

Tương tự, $\vec{O B_{1}} = k \vec{O B}$ , $\vec{O C_{1}} = k \vec{O C}$ .

Suy ra, F = | $\vec{F_{1}}$ | = k.| $\vec{O A}$ | = k. L. (1)

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{P}$ . Gọi I là tâm của chiếc đèn hình tròn. Vì tam giác ABC là tam giác đều nên I cũng là trọng tâm của tam giác.

Sử dụng quy tắc trọng tâm trong tam giác ABC, ta được:

$\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O I}$ ⇔ $\frac{1}{k} ({\vec{O A}}_{1} + \vec{O B_{1}} + \vec{O C_{1}}) = 3 \vec{O I}$ hay $\vec{P} = 3 k . \vec{O I}$ .

Theo giả thiết bài toán, trọng lượng của chiếc đèn là 24 (N) hay | $\vec{P}$ |, do đó OI = $\frac{8}{k}$ .

Mặt khác, xét hình chóp tam giác đều O.ABC, có OI vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Khi đó:

OI = $\sqrt{O A^{2} - A I^{2}}$ = $\sqrt{L^{2} - 18^{2}}$ = $\sqrt{L^{2} - 324}$ .

Suy ra, $\frac{8}{k}$ = $\sqrt{L^{2} - 324}$ hay k = $\frac{8}{\sqrt{L^{2} - 324}}$ .

Thay k = $\frac{8}{\sqrt{L^{2} - 324}}$ vào (1), ta được công thức hàm số F = $\frac{8 L}{\sqrt{L^{2} - 324}}$ (N).

b) Khảo sát hàm số F = $\frac{8 L}{\sqrt{L^{2} - 324}}$ , (L > 18).

$\lim_{L \to 18^{+}}$ F = +∞, do đó đường thẳng L = 18 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{L \to + \infty}$ F = 8, do đó đường thẳng F = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: F' = $\frac{- 2592}{(L^{2} - 324) . \sqrt{L^{2} - 324}}$ < 0, ∀L > 18.

Do đó hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (18; +∞).

Ta có bảng biến thiên:

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây

Đồ thị hàm số:

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây

c) Khi lực căng của mỗi sợi dây bằng 10 N, ta có:

$\frac{8 L}{\sqrt{L^{2} - 324}}$ = 10 ⇒ 8L = 10 $\sqrt{L^{2} - 324}$ ⇔ L = 30 (thỏa mãn điều kiện L > 18).

Dựa vào đồ thị hàm số ở câu b, ta thấy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây để lực căng tối đa là 10 N là 30 inch.

Lời giải SBT Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯