Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có DA = 2, DC = 3, DD' = 2. Tính khoảng cách từ đỉnh B' đến mặt phẳng (BA'C')

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có DA = 2, DC = 3, DD' = 2. Tính khoảng cách từ đỉnh B' đến mặt phẳng (BA'C').

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 6 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có DA = 2, DC = 3, DD' = 2. Tính khoảng cách từ đỉnh B' đến mặt phẳng (BA'C').

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm D.

Khi đó, tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.A'B'C'D' lần lượt là D(0; 0; 0),

A(2; 0; 0), C(0; 3; 0), B(2; 3; 0), D'(0; 0; 2), A'(2; 0; 2), B'(2; 3; 2), C'(0; 3; 2).

Mặt phẳng (BA'C') có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{B A^{'}} = (0; - 3; 2)$ , $\vec{B C^{'}} = (- 2; 0; 2)$

Ta có: $\vec{n} = [\vec{B A^{'}}, \vec{B C^{'}}] = (|\begin{matrix} - 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 0 \\ 2 & - 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 0 & - 3 \\ - 2 & 0 \end{matrix}|)$ = (−6; −4; −6) = −2(3; 2; 3).

Do đó, $\vec{n}$ = (3; 2; 3). Phương trình mặt phẳng (BA'C') là:

3(x – 2) + 2(y – 3) + 3z = 0 hay 3x + 2y + 3z – 12 = 0.

Khoảng cách từ đỉnh B' đến mặt phẳng (BA'C') là:

d(B', (BA'C')) = $\frac{|3.2 + 2.3 + 3.2 - 12|}{\sqrt{3^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \frac{3 \sqrt{22}}{11}$

Lời giải SBT Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯