Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất


Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích về mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Giải sách bài tập Toán 12 Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn - Kết nối tri thức

Bài 1.45 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích về mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Lời giải:

Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là r. Suy ra, chiều cao của thùng hình trụ là Vπr2 .

Diện tích bề mặt của thùng hình trụ là S = 2πr2 + 2πrVπr2  = 2πr2 + 2Vr , r > 0.

Ta có: S' = 2πr22Vr2  = 4πr32Vr2

           S' = 0 ⇔ r = V2π3 .

Bảng biến thiên của hàm số:

Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất

Từ bảng biến thiên: S đạt giá trị nhỏ nhất khi r = V2π3 , khi đó chiều cao của hình trụ là 2.V2π3  = 2r.

Đây là điều cần chứng minh.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: