Cho tam giác ABC có M là điểm đồng quy của ba đường phân giác

Cho tam giác ABC có M là điểm đồng quy của ba đường phân giác. Qua M vẽ đường thẳng song song với BC và cắt AB, AC lần lượt tại N và P. Chứng minh rằng NP = BN + CP.

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 8

Bài 2 trang 65 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có M là điểm đồng quy của ba đường phân giác. Qua M vẽ đường thẳng song song với BC và cắt AB, AC lần lượt tại N và P. Chứng minh rằng NP = BN + CP.

Lời giải:

•Ta có: MN // BC (giả thiết) do đó $\widehat{M_1}=\widehat{B_1}$ (hai góc so le trong).

Vì BM là phân giác của góc ABC nên $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$.

Suy ra $\widehat{M_1}=\widehat{B_2}$ nên tam giác BNM cân tại N.

Do đó BN = NM.

•Ta có: MP // BC (giả thiết) do đó $\widehat{M_2}=\widehat{C_2}$ (hai góc so le trong).

Vì CM là phân giác của góc ACB nên $\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\frac{\widehat{ACB}}{2}$.

Suy ra $\widehat{M_2}=\widehat{C_1}$ nên tam giác CMP cân tại P.

Do đó PM = PC.

Ta có: NP = MN + MP = BN + CP.

Vậy NP = BN + CP.