Biết rằng đa thức f(x) = x^4 + px^3 – 2x^2 + 1 có hai nghiệm (khác 0) là hai số đối nhau

Biết rằng đa thức f(x) = x + px – 2x+ 1 có hai nghiệm (khác 0) là hai số đối nhau. Chứng minh rằng p = 0.

Giải SBT Toán 7 Ôn tập chương 7

Bài 7.38 trang 36 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Biết rằng đa thức f(x) = x⁴ + px³ – 2x² + 1 có hai nghiệm (khác 0) là hai số đối nhau. Chứng minh rằng p = 0.

Lời giải:

Gọi hai nghiệm đối nhau của f(x) là a và – a (a ≠ 0). Khi đó ta có:

f(a) = a⁴ + pa³ – 2a² + 1 = 0 = f(– a) = (– a)⁴ + p(–a)³ – 2(–a)² + 1

Suy ra:

a⁴ + pa³ – 2a² + 1 = a⁴ – pa³ – 2a² + 1

Thu gọn ta được pa³ = –pa³, suy ra 2pa³ = 0 . Do a ≠ 0 nên từ đẳng thức này suy ra p = 0.