Rút gọn các biểu thức sau: A = (x − 1)(x + 2)(x − 3) − (x + 1)(x − 2)(x + 3)

Rút gọn các biểu thức sau:

Giải SBT Toán 7 Ôn tập chương 7

Bài 7.40 trang 36 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = (x − 1)(x + 2)(x − 3) − (x + 1)(x − 2)(x + 3)

b) B = (x − 1)(x + 1)( x² + 1)(x⁴ +1) − x⁸

Lời giải:

a) A = (x − 1)(x + 2)(x − 3) − (x + 1)(x − 2)(x + 3)

Ta có:

(x − 1)(x + 2)(x − 3)

= [x(x + 2) − 1(x + 2)](x − 3)

= (x² + 2x − x − 2)(x − 3)

= (x² + x − 2)(x − 3)

= x(x² + x − 2) − 3(x² + x − 2)

= x³ + x²− 2x − 3x² − 3x + 6

= x³ + (x²− 3x²) + (−2x − 3x) + 6

= x³ − 2x² − 5x + 6 (1)

(x + 1)(x − 2)(x + 3)

= [x(x − 2) + 1(x − 2)](x + 3)

= (x² − 2x + x − 2)(x + 3)

= (x² − x − 2)(x + 3)

= x(x² − x − 2) + 3(x² − x − 2)

= x³ − x²− 2x + 3x² − 3x − 6

= x³ + (−x²+ 3x²) + (−2x − 3x) − 6

= x³ + 2x² − 5x − 6 (2)

Khi đó: A = (x − 1)(x + 2)(x − 3) − (x + 1)(x − 2)(x + 3) = (1) − (2)

= (x³ − 2x² − 5x + 6) − (x³ + 2x² − 5x − 6)

= x³ − 2x² − 5x + 6 − x³ − 2x² + 5x + 6

= (x³ − x³) + (−2x² − 2x²) + (−5x + 5x) + (6 + 6)

= −4x²+ 12.

b) B = (x − 1)(x + 1)( x² + 1)(x⁴ +1) − x⁸

Với M là một biểu thức tùy ý, ta có:

(M − 1)(M + 1) = M² − M + M − 1 hay (M − 1)(M + 1) = M² − 1 (1)

Từ đó, ta có:

(x − 1)(x + 1) (áp dụng (1) với M = x)

(x² − 1)(x² + 1) = (x²)² − 1 = x⁴ − 1 (áp dụng (1) với M = x²)

(x⁴ − 1)(x⁴ + 1) = (x⁴)² − 1 = x⁸ − 1 (áp dụng (1) với M = x⁴).

Sử dụng các kết quả trên, ta được:

(x − 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)

= $\left((x-1)(x+1)\right)$(x² +1)(x⁴ + 1)

= (x² − 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)

= $\left((x^2-1)(x^2+1)\right)$(x⁴ + 1)

= (x⁴ − 1)(x⁴ + 1)

= x⁸− 1.

Vậy B = (x − 1)(x + 1)( x² + 1)(x⁴ +1) − x⁸ = x⁸– 1 − x⁸ = −1.