Cho tứ giác ABCD. Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức - Cánh diều

Bài 10 trang 37 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn

$\frac{A B \cdot B C + A D \cdot D C}{2} .$

Lời giải:

Kẻ CH vuông góc với AB tại H, AK vuông góc với CD tại K.

Khi đó, diện tích của tam giác ABC là: $S_{1} = \frac{A B \cdot C H}{2}$ và diện tích của tam giác ACD là: $S_{2} = \frac{D C \cdot A K}{2} .$

Diện tích của tứ giác ABCD là:

$S = S_{1} + S_{2} = \frac{A B \cdot C H + A K \cdot D C}{2} .$

Mà CH ≤ BC và AK ≤ AD (trong các đường xiên, đường vuông góc có độ dài ngắn nhất), suy ra $S \leq \frac{A B \cdot B C + A D \cdot D C}{2} .$

Vậy diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn $\frac{A B \cdot B C + A D \cdot D C}{2} .$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức hay khác: