Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức - Cánh diều

Bài 7 trang 36 SBT Toán 9 Tập 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:

a) a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca);

b) $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} .$

Lời giải:

a) Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a + b > c, b + c > a, c + a > b.

Ta có a < b + c nên a² < a(b + c).

Tương tự, ta có: b² < b(c + a), c² < c(a + b).

Do đó a² + b² + c² < a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)

Hay a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).

b) Theo kết quả Ví dụ 2c, trang 32, SBT Toán lớp 9, Tập một, ta có:

$\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} \geq \frac{4}{(a + b - c) + (b + c - a)}$

Hay $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} \geq \frac{4}{2 b} = \frac{2}{b} .$

Tương tự, ta chứng minh được

$\frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{2}{c}; \frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{a + b - c} \geq \frac{2}{a} .$

Do đó $\frac{2}{a + b - c} + \frac{2}{b + c - a} + \frac{2}{c + a - b} \geq \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} .$

Vậy $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} .$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức hay khác: