Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
Giải SBT Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức - Cánh diều
Bài 7 trang 36 SBT Toán 9 Tập 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca);
b) 1a+b−c+1b+c−a+1c+a−b≥1a+1b+1c.
Lời giải:
a) Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a + b > c, b + c > a, c + a > b.
Ta có a < b + c nên a2 < a(b + c).
Tương tự, ta có: b2 < b(c + a), c2 < c(a + b).
Do đó a2 + b2 + c2 < a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)
Hay a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
b) Theo kết quả Ví dụ 2c, trang 32, SBT Toán lớp 9, Tập một, ta có:
1a+b−c+1b+c−a≥4(a+b−c)+(b+c−a)
Hay 1a+b−c+1b+c−a≥42b=2b.
Tương tự, ta chứng minh được
1b+c−a+1c+a−b≥2c; 1c+a−b+1a+b−c≥2a.
Do đó 2a+b−c+2b+c−a+2c+a−b≥2a+2b+2c.
Vậy 1a+b−c+1b+c−a+1c+a−b≥1a+1b+1c.
Lời giải SBT Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức hay khác:
Bài 2 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Cho a < b. So sánh: a) M = ‒24(a + 23) và N = ‒24(b + 23);....
Bài 6 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh: a) √5−√7<√6−2;....