Bài 5 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1
Cho x, y, z là các số thực tuỳ ý. Chứng minh:
Giải SBT Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức - Cánh diều
Bài 5 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Cho x, y, z là các số thực tuỳ ý. Chứng minh:
a) x2 + y2 ≥ –2xy;
b) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx;
c) 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2.
Lời giải:
a) Với hai số thực x, y tùy ý, ta có: (x + y)2 ≥ 0 hay x2 + 2xy + y2 ≥ 0
Do đó x2 + y2 ≥ –2xy.
b) Với ba số thực x, y, z tùy ý, ta có:
(x – y)2 ≥ 0; (y – z)2 ≥ 0; (z – x)2 ≥ 0
Suy ra (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 ≥ 0
Hay x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 ≥ 0
Do đó 2x2 + 2y2 + 2z2 ≥ 2xy + 2yz + 2zx
Suy ra x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx.
c) Xét hiệu:
3(x2 + y2 + z2) – (x + y + z)2
= 3x2 + 3y2 + 3z2 – (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx)
= 3x2 + 3y2 + 3z2 – x2 – y2 – z2 – 2xy – 2yz – 2zx
= 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx
Mà theo câu b, ta có 2x2 + 2y2 + 2z2 ≥ 2xy + 2yz + 2zx
Hay 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx ≥ 0
Suy ra 3(x2 + y2 + z2) – (x + y + z)2 ≥ 0
Vậy 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2.
Lời giải SBT Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức hay khác: