Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho
Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho (Hình 7).
Giải SBT Toán 9 Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác - Cánh diều
Bài 7 trang 85 SBT Toán 9 Tập 2: Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho (Hình 7).
a) Xác định tâm và tính theo R bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác OAB, OBC, OAD, ODC.
b) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC.
Lời giải:
a) ⦁ Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB.
Do A, B thuộc đường tròn (O) nên OA = OB = R.
Lại có nên (góc ở tâm chắn cung AB của đường tròn (O)).
Do đó, tam giác OAB là tam giác đều với cạnh AB = OA = OB = R nên có tâm đường tròn ngoại tiếp là G và bán kính đường tròn ngoại tiếp là
⦁ Do nên (góc ở tâm chắn cung BC của đường tròn (O)).
Do đó tam giác OBC vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:
BC2 = OB2 + OC2
Suy ra nên tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp của ∆OBC lần lượt là trung điểm E của BC và
⦁ Tương tự tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAD lần lượt là trung điểm F của AD và
⦁ Gọi H là trung điểm của DC và giao điểm của tia OH và cung nhỏ CD là K.
Do nên (góc nội tiếp chắn cung DC của đường tròn (O)).
Trong tam giác ODC cân tại O có OH là trung tuyến nên đồng thời là phân giác của
Suy ra
Lại có OD = OK = OC nên ∆DOK, ∆COK là tam giác đều.
Suy ra KD = KO = KC = R.
Vậy tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ODC lần lượt là K và R.
b) Xét ∆OHC vuông tại H có
Suy ra
Xét đường tròn (O) có (góc nội tiếp chắn cung BC).
Ta có
Suy ra
Khi đó, (góc nội tiếp chắn cung DA).
Do đó
Xét ∆ABI có:
Suy ra
Hay AC vuông góc với BD.
Do đó ∆IAB vuông tại I, ∆IAD vuông tại I, ∆IBC vuông tại I, ∆IDC vuông tại I.
Mặt khác, AB = R, (chứng minh ở câu a) và do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC lần lượt là:
Lời giải SBT Toán 9 Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác hay khác: