Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin α, cos α, tan α, cot α hãy chứng minh rằng

Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin α, cos α, tan α, cot α hãy chứng minh rằng:

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải sách bài tập Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn - Kết nối tri thức

Bài 4.15 trang 46 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin α, cos α, tan α, cot α hãy chứng minh rằng:

a) $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , $\cot α = \frac{\cos α}{\sin α}$

b) $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}$

Lời giải:

Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin α, cos α, tan α, cot α hãy chứng minh rằng

a) Xét tam giác ABC vuông tại A với góc B là góc α, ta có:

$\sin B = \frac{A C}{B C}, \cos B = \frac{A B}{B C}$

Khi đó: $\frac{\sin B}{\cos C} = \frac{A C}{B C} : \frac{A B}{B C} = \frac{A C}{B C} \cdot \frac{B C}{A B} = \frac{A C}{A B} = \tan B$

$\frac{\cos B}{\cos C} = \frac{A B}{B C} : \frac{A C}{B C} = \frac{A B}{B C} \cdot \frac{B C}{A C} = \frac{A B}{A C} = \cot B$

Vậy $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}, \cot α = \frac{\cos α}{\sin α}$ (đpcm).

b) $\sin^{2} B + \cos^{2} B = \frac{A C^{2}}{B C^{2}} + \frac{A B^{2}}{B C^{2}} = \frac{A C^{2} + A B^{2}}{B C^{2}} = 1$ (định vì AB² + AC² = BC²).

Suy ra sin²α + cos² α = 1.

Do đó $1 + \tan^{2} α = 1 + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{1}{\cos^{2} α}$ (dpcm).

Lời giải SBT Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn hay khác:

SBT Toán 9 Kết nối tri thức