Cho phương trình bậc hai (ẩn x): x^2 – 4x + m – 2 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

Cho phương trình bậc hai (ẩn x): x – 4x + m – 2 = 0.

Giải sách bài tập Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng - Kết nối tri thức

Bài 6.20 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình bậc hai (ẩn x): x² – 4x + m – 2 = 0.

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

b) Với các giá trị m tìm được ở câu a, gọi x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m:

A = x₁² + x₂²; B = x₁³ + x₂³.

Lời giải:

a) x² – 4x + m – 2 = 0

Ta có: a = 1, b = –4, c = m – 2.

∆ = b² – 4ac = (–4)² – 4 . 1 . (m – 2) = 16 – 4m + 8 = 24 – 4m

Để phương trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0 hay 24 – 4m ≥ 0.

Suy ra 24 ≥ 4m nên m ≤ 6.

Vậy phương trình có nghiệm khi m ≤ 6.

b) Theo định lý Viète, ta có:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- 4}{1} = 4$

$x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{m - 2}{1} = m - 2$

Do đó: A = x₁²+ x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂

= 4² – 2(m – 2) = 16 – 2m + 4 = 20 – 2m

B = x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3x₁x₂(x₁ + x₂)

= 4³ – 3 . 4 . (m – 2) = 64 – 12m + 24 = 88 – 12m.

Vậy A = 20 – 2m và B = 88 – 12m.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng hay khác: