Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x1, x2 thì đa thức ax^2 + bx + c có thể phân tích được thành nhân tử như sau

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 có hai nghiệm là x, x thì đa thức ax + bx + c có thể phân tích được thành nhân tử như sau

Giải sách bài tập Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng - Kết nối tri thức

Bài 6.22 trang 14 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁, x₂ thì đa thức ax² + bx + c có thể phân tích được thành nhân tử như sau

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Áp dụng: Hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2x² – 9x + 7;

$4x^2+\left(\sqrt{2}-3\right)x-7+\sqrt{2}$

Lời giải:

Áp dụng định lý Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}; x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

Do đó: $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=a\left[x^2-x\left(x_1+x_2\right)+x_1{x}_2\right]$

$=a\left[x^2-\left(-\frac{b}{a}\right)x+\frac{c}{a}\right]=a{x}^2+bx+c$ (đpcm)

Áp dụng:

● Xét phương trình 2x² – 9x + 7 có a = 2, b = –9, c = 7.

Ta thấy a + b + c = 2 + (–9) + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là x₁ = 1 và $x_2=\frac{c}{a}=\frac{7}{2}$.

Khi đó ta có $2x^2-9x+7=2\left(x-1\right)\left(x-\frac{7}{2}\right)$.

● Xét phương trình $4x^2+\left(\sqrt{2}-3\right)x-7+\sqrt{2}$ có $a=4,b=\sqrt{2}-3,c=-7+\sqrt{2}.$

Ta thấy $a-b+c=4-\left(2-\sqrt{3}\right)+\left(-7+\sqrt{2}\right)=0$ nên phương trình có hai nghiệm là x₁ = –1 và $x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{-7+\sqrt{2}}{4}$.

Khi đó ta có $4x^2+\left(\sqrt{2}-3\right)x-7+\sqrt{2}=4\left(x+1\right)\left(x-\frac{-7+\sqrt{2}}{4}\right)$.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng hay khác:

• Bài 6.17 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau: $\sqrt{3}{x}^2-\left(\sqrt{3}+1\right)x+1=0$ ...

• Bài 6.18 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và b, biết: u + v = 17, uv = 72; ...

• Bài 6.19 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dùng định lí Viète, tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau: x² – 8x + 15 = 0;  ...

• Bài 6.20 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình bậc hai (ẩn x): x² – 4x + m – 2 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. ...

• Bài 6.21 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giả sử phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm là x₁, x₂ đều khác 0. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{x_1}$ và $\frac{1}{x_2}$ ...

• Bài 6.23 trang 14 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm m để phương trình x² + 4x + m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thoả mãn x₁² + x₂² = 10. ...

• Bài 6.24 trang 14 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Bác Long có 48 mét lưới thép. Bác muốn dùng để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau ...