Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng

Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng:

Giải sách bài tập Toán 9 Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác - Kết nối tri thức

Bài 9.15 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng:

a) $\hat{O B C} = 90 ° - \hat{B A C};$

b) $\hat{B A H} = \hat{O A C}$

Lời giải:

Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng

Vì góc nội tiếp BAC và góc ở tâm BOC của (O) cùng chắn cung nhỏ $\overset{⏜}{B C}$ nên $\hat{B A C} = \hat{B O C}$ . (1)

Mặt khác, vì tam giác BOC cân tại O nên

$\hat{O B C} = \frac{\hat{O B C} + \hat{O C B}}{2} = \frac{180 ° - \hat{B O C}}{2} = 90 ° - \frac{\hat{B O C}}{2}$

Thay vào (1), ta được $\hat{O B C} = 90 ° - \hat{B A C}$ . (đpcm)

b) Tương tự như trên, ta có:

$\hat{O A C} = \frac{\hat{O A C} + \hat{O C A}}{2} = \frac{180 ° - \hat{A O C}}{2} = 90 ° - \hat{A B C}$ (2)

Gọi D là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Ta có $\hat{B A H} = \hat{B A D} = 90 ° - \hat{A B C}$ (vì tam giác ABD vuông tại D).

Thay vào (2) ta suy ra $\hat{B A H} = \hat{O A C}$ . (đpcm)

Lời giải SBT Toán 9 Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác hay khác: