Bài 6 trang 92 Toán 10 Tập 1 Cánh diều

Cho hình bình hành ABCD. Đặt . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ theo hai vectơ .

Giải Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{CG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

Lời giải:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm ta có: $BG=\frac{2}{3}BO$.

Mà BO = $\frac{1}{2}$BD nên $BG=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}BD=\frac{1}{3}BD$.

Hai vectơ $\overrightarrow{BG},\overrightarrow{BD}$ cùng hướng và BG = $\frac{1}{3}$BD.

Nên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$.

Ta có: $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

$$\begin{gathered} =\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right) \\ =\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\left(1-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} \\ =\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} \end{gathered}$$

$=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

Do đó: $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Ta có: $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=\left(-\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{AG}$

$=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AG}$

$=-\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right)$

$=\left(-1+\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{a}+\left(-1+\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{b}$

$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$.

Vậy $\overrightarrow{CG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Hình 58 minh họa hai đoàn tàu chạy song song với vectơ vận tốc lần lượt là $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$ ....

• Hoạt động 1 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: : Gọi B là trung điểm của AC. (Hình 59) ....

• Hoạt động 2 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Quan sát vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ với . ....

• Luyện tập 1 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b ....

• Luyện tập 2 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$ . ....

• Hoạt động 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ . ....

• Hoạt động 4 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ . ....

• Luyện tập 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$. ....

• Hoạt động 5 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ với k là số thực khác 0. Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ . ....

• Hoạt động 6 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ ....

• Luyện tập 4 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau: ....

• Bài 1 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng? ....

• Bài 2 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Xác định điểm C thỏa mãn ....

• Bài 3 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh: ....

• Bài 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). ....

• Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh: ....

• Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn ....