Cho tam giác ABC có H là trực tâm; A', B' lần lượt là chân đường cao xuất phát từ các điểm

Cho tam giác ABC có H là trực tâm; A', B' lần lượt là chân đường cao xuất phát từ các điểm A, B. Gọi D, M, N, P lần lượt là trung điểm của AH, BC, CA, AB. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{A^{\text{'}}M}.\overrightarrow{A^{\text{'}}D}$;

Đáp án đúng là: A

 

Do M, N lần lượt là trung điểm của CB và CA nên MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // AB.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}CH\perp AB\\ MN\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}AB\end{array}\right.\Rightarrow CH\perp MN$ (1).

Do D, N lần lượt là trung điểm của AH và AC nên DN là đường trung bình của tam giác AHC nên DN // CH (2).

Từ (1) và (2), suy ra DN ⊥ MN ⇒ $\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{ND}=0$.

Mặt khác, $A^{\text{'}}D\perp A^{\text{'}}M\Rightarrow \overrightarrow{A^{\text{'}}D}.\overrightarrow{A^{\text{'}}M}=0.$  

Do đó, $\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{A^{\text{'}}M}.\overrightarrow{A^{\text{'}}D}$.