Giải Toán 10 trang 77 Tập 1 Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 10 trang 77 Tập 1 trong Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác Toán lớp 10 Tập 1 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Toán 10 trang 77.

Giải Toán 10 trang 77 Tập 1 Cánh diều

Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, $\widehat{C}=120°$. Tính:

a) Độ dài cạnh AB;

b) Số đo các góc A, B; 

c) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC² – 2 . AC . BC . cos C = 12² + 15² – 2 . 12 . 15 . cos 120° = 549

$\Rightarrow AB=3\sqrt{61}$

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin A=\frac{BC.\sin C}{AB}=\frac{12.\sin 120°}{3\sqrt{61}}=\frac{2\sqrt{183}}{61}$

Do đó: $\widehat{A}\approx \mathrm{26,3}°$. 

Lại có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác) 

$\Rightarrow \widehat{B}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)=180°-\left(\mathrm{26,3}°+120°\right)=\mathrm{33,7}°$

 c) Diện tích tam giác ABC là: 

$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.3\sqrt{61}\mathrm{.15.}\frac{2\sqrt{183}}{61}=45\sqrt{3}$(đvdt).

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7,$\widehat{A}=120°$. Tính độ dài cạnh AC.

Lời giải:

Cách 1: áp dụng định lí sin và côsin 

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin C=\frac{AB.\sin A}{BC}=\frac{5.\sin 120°}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$.

Do đó: $\widehat{C}\approx \mathrm{38,2}°$. 

Lại có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{B}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)=180°-\left(120°+\mathrm{38,2}°\right)=\mathrm{21,8}°$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: 

AC² = AB² + BC² – 2 . AB . AC . cos B = 5² + 7² – 2 . 5 . 7 . cos 21,8° ≈ 9

⇒ AC ≈ 3.

Cách 2: Dựng thêm đường cao và sử dụng định lí Pythagore. 

Dựng đường cao CH của tam giác ABC. 

Đặt AH = x. 

Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{CAH}=180°$( kề bù). 

$\Rightarrow \widehat{CAH}=180°-\widehat{BAC}=180°-120°=60°$. 

Tam giác ACH vuông tại H nên 

$cos\widehat{CAH}=\frac{AH}{CA}\Rightarrow CA=\frac{AH}{cos\widehat{CAH}}=\frac{x}{cos60°}=\frac{x}{\frac{1}{2}}=2x$.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: $CH=x\sqrt{3}$. 

Và BC² = BH² + CH² = (BA + AH)² + CH² 

Thay số: 7² = (5 + x)² + 3x² (1)

Giải phương trình (1) ta được x = 1,5 là giá trị thỏa mãn. 

Suy ra AC = 2x = 2 . 1,5 = 3. 

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 100, $\widehat{B}=100°$; $\widehat{C}=45°$. Tính:

a) Độ dài các cạnh AC, BC; 

b) Diện tích tam giác ABC. 

Lời giải:

a) Tam giác ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=180°-\left(100°+45°\right)=35°$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

Suy ra: $AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{100.\sin 100°}{\sin 45°}\approx 139,3$;

$BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{100.\sin 35°}{\sin 45°}\approx 81,1$

Vậy AC ≈ 139,3 và BC ≈ 81,1.

b) Diện tích tam giác ABC là: 

$S=\frac{1}{2}BC.CA.\sin C=\frac{1}{2}.81,1.139,3.\sin 45°\approx \mathrm{3994,2}$(đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 3994,2 đvdt.

Bài 4 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:

a) Số đo các góc A, B, C; 

b) Diện tích tam giác ABC. 

Lời giải:

a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có: 

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{12}^2+{15}^2-{20}^2}{\mathrm{2.12.15}}=-\frac{31}{360}$ ⇒ $\hat{A}\approx {95}^{\circ }$

$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{{12}^2+{20}^2-{15}^2}{\mathrm{2.12.20}}=\frac{319}{480}$ ⇒ $\hat{B}\approx {48}^{\circ }$

$\cos C=\frac{B{C}^2+A{C}^2-A{B}^2}{2.BC.AC}=\frac{{20}^2+{15}^2-{12}^2}{\mathrm{2.20.15}}=\frac{481}{600}$ ⇒ $\hat{C}\approx {37}^{\circ }$

Vậy $\widehat{A}\approx 95°;\widehat{B}\approx 48°;\widehat{C}\approx 37°$.

b) Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A\approx \frac{1}{2}\mathrm{.12.15.}\sin 95\approx 90$

Vậy diện tích tam giác ABC là 90 đvdt.

Bài 5 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Lời giải:

* Hình 29: Góc B nhọn. 

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{AC.\sin A}{BC}=\frac{5,2.\sin 40°}{3,6}\approx 0,93$.

Do đó: $\widehat{B}\approx 68°$. 

Lại có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)=180°-\left(40°+68°\right)=72°$. 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: 

AB² = AC² + BC² – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)² + (3,6)² – 2 . 5,2 . 3,6 . cos 72° ≈ 28,43

⇒ AB ≈ 5,33 (m). 

* Hình 30: Góc B tù. 

Khi đó: $\widehat{B}=180°-68°=112°$. 

Ta tính được:$\widehat{C}=28°$. 

Do đó: 

AB² = AC² + BC² – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)² + (3,6)² – 2 . 5,2 . 3,6 . cos 28° ≈ 6,94

⇒ AB ≈ 2,63 (m). 

Bài 6 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và $\widehat{ACB}=105°$ (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Lời giải:

Nối A với B, ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC.

Đổi 1 km = 1 000 m. 

Tam giác ABC có AC = 1 000 m, CB = 800 m, $\widehat{ACB}=105°$. 

Áp dụng định lí côsin ta có: 

AB² = AC² + CB² – 2 . AC . CB . cosACB 

= 1 000² + 800² – 2 . 1 000 . 800 . cos 105° 

≈ 2 054 110,5 

Do đó: AB ≈ 1 433,2 m. 

Vậy khoảng cách AB khoảng 1 433,2 m.

Bài 7 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 45° và 75°. Biết khoảng cách giữa hai bị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Giả sử C là vị trí của ngọn hải đăng, kẻ CH vuông góc AB thì CH là khoảng cách giữa ngọn hải đăng và bờ. 

Ta có:$\widehat{CBH}$ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC. 

Nên $\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=\widehat{CBH}$. 

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{CBH}-\widehat{BAC}=75°-45°=30°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

$\Rightarrow BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{30.\sin 45°}{\sin 30°}=30\sqrt{2}$. 

Tam giác CBH vuông tại H nên $\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}$

$\Rightarrow CH=BC.\sin \widehat{CBH}=30\sqrt{2}.\sin 75°=15+15\sqrt{3}\approx 41$

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 41 m.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác Cánh diều hay khác:

• Giải Toán 10 trang 72 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 73 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 74 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 75 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 76 Tập 1