Tam giác ABC vuông tại A, có AB=c, AC=b. Gọi m là độ dài đoạn phân giác trong

Câu hỏi:

A. $m=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c};$

B. $m=\frac{2\left(b+c\right)}{bc};$

C. $m=\frac{2bc}{b+c};$

D. $m=\frac{\sqrt{2}\left(b+c\right)}{bc}.$

Trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{b^2+c^2}$.

Do AD là phân giác trong của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow BD=\frac{AB}{AC}.DC=\frac{c}{b}.DC=\frac{c}{b+c}.BC=\frac{c\sqrt{b^2+c^2}}{b+c}$.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2.AB.AD.\cos \widehat{ABD}$

$\iff \frac{c^2\left(b^2+c^2\right)}{{\left(b+c\right)}^2}=c^2+A{D}^2-2c.AD.\cos 45°$

$\Rightarrow A{D}^2-c\sqrt{2}.AD+\left(c^2-\frac{c^2\left(b^2+c^2\right)}{{\left(b+c\right)}^2}\right)=0$

$\iff A{D}^2-c\sqrt{2}.AD+\frac{2b{c}^3}{{\left(b+c\right)}^2}=0$

$\Rightarrow AD=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c}$  hay $m=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c}$.