Cho tiếp tuyến d của một đường tròn có phương trình: x – y = 0. Biết bán kính

Cho tiếp tuyến d của một đường tròn có phương trình: x – y = 0. Biết bán kính của đường tròn này bằng 2 và điểm O(0;0) thuộc đường tròn. Hỏi có bao nhiêu phương trình đường tròn tâm I có tiếp tuyến trên?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn.

Khi đó IM vuông góc với tiếp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn là: x – y = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(1;-1\right)$.

Đường thẳng IM có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(1;1\right)$ nên phương trình có dạng: x + y + c = 0.

Điểm I nằm trên đường thẳng IM nên ta có I(t; – c – t)

$\Rightarrow \overrightarrow{OI}=\left(t;-c-t\right)$ 

O nằm trên đường tròn nên OI = R = 2

Do đó t² + (– c – t)² = 4.

Mặt khác, IM vuông góc với tiếp tuyến nên khoảng cách từ I đến tiếp tuyến d bằng 2.

Hay  $d\left(I,d\right)=2\iff \frac{\left|t-\left(-c-t\right)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2$ 

$\iff \left|c+2t\right|=2\sqrt{2}\iff \left[\begin{array}{l}c=2\sqrt{2}-2t\\ c=-2\sqrt{2}-2t\end{array}\right.$ 

Khi $c=2\sqrt{2}-2t$ thì ta có: $t^2+{\left(2\sqrt{2}-2t-t\right)}^2=4$         

$\iff t^2+{\left(2\sqrt{2}-3t\right)}^2=4\iff 10t^2-12\sqrt{2}t+4=0$ 

$\iff \left[\begin{array}{l}t=\sqrt{2}\\ t=\frac{\sqrt{2}}{5}\end{array}\right.$ 

Với 2 giá trị của t, suy ra có 2 điểm I.

Khi $c=-2\sqrt{2}-2t$ thì ta có: $t^2+{\left(-2\sqrt{2}-3t\right)}^2=4$          

 $\iff 10t^2+12\sqrt{2}t+4=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-\sqrt{2}\\ t=-\frac{\sqrt{2}}{5}\end{array}\right.$

Với 2 giá trị của t, suy ra có 2 điểm I.

Vậy có 4 phương trình đường tròn thỏa mãn.