Trong sơ đồ, chùm sáng S hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ

Câu hỏi:

Trong sơ đồ, chùm sáng S hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ và sau đó phản xạ vào gương màu xanh như hình vẽ. Biết OP = 2 m, $O Q = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ m.

Trong sơ đồ, chùm sáng S hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ (ảnh 1)

Khi đó đoạn PT bằng:

A. $\frac{2 \sqrt{6}}{3} m;$

\frac{2 \sqrt{3}}{3} m;

\frac{2 \sqrt{2}}{3} m;

\frac{\sqrt{6}}{3} m;

Trả lời:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\hat{S Q B} = \hat{P Q T} = α, \hat{T P O} = β$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

PQ² = OP² + OQ² – 2.OP.OQ.cos $\hat{P O Q}$

$\Rightarrow P Q^{2} = 2^{2} + {(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2} - 2.2. (\sqrt{2} + \sqrt{6}) . c o s 45 °$ Þ PQ² = 8 $\Rightarrow P Q = 2 \sqrt{2} (m)$

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

$c o s α = c o s \hat{O Q P} = \frac{O Q^{2} + P Q^{2} - O P^{2}}{2. O Q . P Q} = \frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2} + 8 - 2^{2}}{2. (\sqrt{2} + \sqrt{+ 6}) .2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Þ α = 30°

Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngoài của tam giác)

Þ β = 45° + 30° = 75° $\Rightarrow \hat{T P O} = 75 °$

Xét tam giác OTP ta có: $\hat{O T P} + \hat{T O P} + \hat{T P O} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hay $\hat{O T P} + 45 ° + 75 ° = 180 °$

$\Rightarrow \hat{O T P} = 180 ° - 45 ° - 75 ° = 60 °$

Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: $\frac{O P}{\sin \hat{O T P}} = \frac{P T}{\sin \hat{T O P}}$

$\Rightarrow \frac{2}{\sin 60 °} = \frac{P T}{\sin 45 °}$ $\Rightarrow P T = \frac{2. \sin 45 °}{\sin 60 °} = \frac{2. \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} .$