Bài 6.19 trang 24 Toán 10 Tập 2 - Kết nối tri thức

Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Giải Toán lớp 10 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 6.19 trang 24 Toán 10 Tập 2: Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ. 

Lời giải:

Vì AM = x nên x > 0, lại có AM < AB nên x < 4, vậy điều kiện của x là 0 < x < 4. 

Đường tròn lớn có đường kính AB = 4 nên bán kính của hình tròn này là R = 2. 

Diện tích hình tròn lớn này là S_R = πR² = π . 2² = 4π.  

Đường tròn nhỏ đường kính AM = x có bán kính là r₁ = $\frac{x}{2}$. 

Diện tích hình tròn nhỏ có bán kính r₁ là S₁ = πr₁² = π ${\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{x^2}{4}\pi$ . 

Ta có: AM + MB = AB ⇒ MB = AB – AM = 4 – x. 

Đường tròn đường kính MB có bán kính là r₂ = $\frac{4-x}{2}$.

Diện tích hình tròn có bán kính r₂ là S₂ = πr₂² = $\pi .{\left(\frac{4-x}{2}\right)}^2=\frac{{\left(4-x\right)}^2}{4}\pi$. 

Tổng diện tích hai hình tròn nhỏ là: 

S₁₂ = S₁ + S₂ = $\frac{x^2}{4}\pi +\frac{{\left(4-x\right)}^2}{4}\pi$ = $\frac{x^2}{4}\pi +\frac{{\left(4-x\right)}^2}{4}\pi =\frac{x^2-4x+8}{2}\pi$.

Diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ là

S(x) = S_R – S₁₂ = $4\pi -\frac{x^2-4x+8}{2}\pi =\frac{-x^2+4x}{2}\pi$. 

Vì diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ hay diện tích S(x) nhỏ hơn hoặc bằng nửa tổng diện tích hia hình tròn nhỏ hay S(x) ≤ $\frac{1}{2}{S}_{12}$. 

Khi đó:$\frac{-x^2+4x}{2}\pi \le \frac{1}{2}.\frac{x^2-4x+8}{2}\pi$

$\iff -x^2+4x\le \frac{x^2-4x+8}{2}$

⇔ – 2x² + 8x ≤ x² – 4x + 8 

⇔ 3x² – 12x + 8 ≥ 0

Xét tam thức f(x) = 3x² – 12x + 8 có ∆' = (– 6)² – 3 . 8 = 12 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = $\frac{6-\sqrt{12}}{3}=\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$ và x₂ = $\frac{6+\sqrt{12}}{3}=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$.

Mặt khác hệ số a = 3 > 0, do đó ta có bảng xét dấu f(x): 

Do đó f(x) ≥ 0 với mọi $x\in \left(-\infty ;\frac{6-2\sqrt{3}}{3}\right]\cup \left[\frac{6+2\sqrt{3}}{3};+\infty \right)$. 

Kết hợp với điều kiện 0 < x < 4. 

Vậy các giá trị của x thỏa mãn yêu cầu của đề bài là $x\in \left(0;\frac{6-2\sqrt{3}}{3}\right]\cup \left[\frac{6+2\sqrt{3}}{3};4\right)$. 

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 19 Toán 10 Tập 2: Xét bài toán rào vườn ở Bài 16, nhưng ta trả lời câu hỏi: Hai cột góc hàng rào (H.6.8) cần phải cắm cách bờ tường ....

• HĐ1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Hãy chỉ ra một vài đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây ....

• Luyện tập 1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai ....

• HĐ2 trang 19 Toán 10 Tập 2: Cho hàm số bậc hai y = f(x) = x² – 4x + 3. ....

• HĐ3 trang 20 Toán 10 Tập 2: Cho đồ thị hàm số y = g(x) = – 2x² + x + 3 như Hình 6.18 ....

• HĐ4 trang 20 Toán 10 Tập 2: Nêu nội dung thay vào ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp ....

• Luyện tập 2 trang 22 Toán 10 Tập 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau: ....

• HĐ5 trang 22 Toán 10 Tập 2: Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m² ....

• Luyện tập 3 trang 23 Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau ....

• Vận dụng trang 23 Toán 10 Tập 2: Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai ....

• Bài 6.15 trang 24 Toán 10 Tập 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau ....

• Bài 6.16 trang 24 Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai ....

• Bài 6.17 trang 24 Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi x ∈ ℝ ....

• Bài 6.18 trang 24 Toán 10 Tập 2: Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s ....