Cho đường thẳng d1: 3x + 4y + 12 = 0 và d2 : x=2+at và y= 1-2t. Tìm giá trị của tham số a

Cho đường thẳng d₁: 3x + 4y + 12 = 0 và d₂ : $\left\{\begin{array}{l}x=2+at\\ y=1-2t\end{array}\right.$. Tìm giá trị của tham số a để góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 45^°.

A.  a = $\frac{2}{7}$ hoặc a = −14;            

B. a = $\frac{7}{2}$ hoặc a = −14;                  

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂

Ta có: vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là: $\overrightarrow{n_1}$(3; 4)

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}(a;-2)$ ⇒ vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$(2; a)

Theo giả thiết ta có:

cos α = $\frac{\left|3.2+4a\right|}{\sqrt{3^2+4^2}.\sqrt{2^2+a^2}}$= cos 45^° = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇔ $\frac{\left|6+4a\right|}{5.\sqrt{4+a^2}}$= $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇔ $\sqrt{2}.\left|6+4a\right|=5.\sqrt{4+a^2}$

⇒ 8(3 + 2a)² = 25.(a² + 4)

⇔ 8(9 + 12a + 4a²) = 25a² + 100

⇔ 32a² + 96a + 72 = 25a² + 100

⇔ 7a² + 96a – 28 = 0

⇒$\left[\begin{array}{l}a=\frac{2}{7}\\ a=-14\end{array}\right.$

Vậy với a = $\frac{2}{7}$ hoặc a = −14 thì góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 45^°.