Giải Toán 10 trang 41 Tập 2 Kết nối tri thức

❮ Bài trước Bài sau ❯

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 10 trang 41 Tập 2 trong Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Toán lớp 10 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 41.

Giải Toán 10 trang 41 Tập 2 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 41 Toán 10 Tập 2: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ?

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD

Lời giải:

a) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD

Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B có tọa độ là (0; 0).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m, BC = AD = 15 m.

Điểm A thuộc trục Oy và có AO = AB = 12 m nên A có tọa độ là (0; 12).

Điểm C thuộc trục Ox và có CO = CB = 15 m nên C có tọa độ là (15; 0).

Ta có: DC ⊥ Ox (do DC ⊥ BC), DA ⊥ Oy (do DA ⊥ AB) và DC = 12 m, DA = 15 m nên điểm D có tọa độ là (15; 12).

Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB = 12 m, lại có AE = 5 m, do đó điểm E có tọa độ là (5; 12).

Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD = 15 m, lại có CF = 6 m, do đó điểm F có tọa độ là (15; 6).

Vậy A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6).

Ta có: $\vec{E F} = (15 - 5; 6 - 12) = (10; - 6)$ .

Chọn vectơ $\vec{u} = \frac{1}{2} \vec{E F} = (5; - 3)$ làm vectơ chỉ phương của đường thẳng EF thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng EF là $\vec{n} = (3; 5)$ .

Đường thẳng EF đi qua điểm E(5; 12) và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (3; 5)$ , do đó phương trình đường thẳng EF là: 3(x – 5) + 5(y – 12) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0.

b) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ B đến EF là:

$d (B, E F) = \frac{|3.0 + 5.0 - 75|}{\sqrt{3^{2} + 5^{2}}} = \frac{75}{\sqrt{34}}$ ≈ 12,9 m.

Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưỡi câu có thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể rơi vào vị trí nuôi vịt.

Bài 7.7 trang 41 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: $3 \sqrt{2} x + \sqrt{2} y - \sqrt{3} = 0$ và ∆₂: 6x + 2y $- \sqrt{6}$ = 0.

b) d₁: x $- \sqrt{3} y$ + 2 = 0 và d₂: $\sqrt{3} x$ – 3y + 2 = 0.

c) m₁: x – 2y + 1 = 0 và m₂: 3x + y – 2 = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁: $3 \sqrt{2} x + \sqrt{2} y - \sqrt{3} = 0$ có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{1} = (3 \sqrt{2}; \sqrt{2})$ .

Đường thẳng ∆₂: 6x + 2y $- \sqrt{6}$ = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{2} = (6; 2)$ .

Ta có: ${\vec{n}}_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} {\vec{n}}_{2}$ nên hai vectơ ${\vec{n}}_{1}$ và ${\vec{n}}_{2}$ cùng phương, do đó hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, điểm A $(0; \frac{\sqrt{6}}{2})$ vừa thuộc ∆₁ vừa thuộc ∆₂.

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ trùng nhau.

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁: x $- \sqrt{3} y$ + 2 = 0 là $\vec{n_{1}} = (1; - \sqrt{3})$ và của d₂: $\sqrt{3}$ x – 3y + 2 = 0 là $\vec{n_{2}} = (\sqrt{3}; - 3)$ .

Ta có: $\vec{n_{2}} = \sqrt{3} \vec{n_{1}}$ nên hai vectơ ${\vec{n}}_{1}$ và ${\vec{n}}_{2}$ cùng phương, do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, điểm B(– 2; 0) thuộc d₁ nhưng không thuộc d₂.

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau.

c) Xét hệ phương trình $\{\begin{cases} x - 2 y + 1 = 0 \\ 3 x + y - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 6 y + 3 = 0 (1) \\ 3 x + y - 2 = 0 (2) \end{cases}$ .

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1) ta được: 7y – 5 = 0 $\Leftrightarrow y = \frac{5}{7}$ .

Thay vào (1) ta được: $3 x - 6. \frac{5}{7} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{7}$ .

Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất $(\frac{3}{7}; \frac{5}{7})$ .

Vậy hai đường thẳng m₁ và m₂ cắt nhau tại điểm có tọa độ $(\frac{3}{7}; \frac{5}{7})$ .

Bài 7.8 trang 41 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: $\sqrt{3} x$ + y – 4 = 0 và ∆₂: x + $\sqrt{3} y$ + 3 = 0;

b) d₁: $\{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 3 + 4 t \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = 3 + s \\ y = 1 - 3 s \end{cases}$ (t, s là các tham số).

Lời giải:

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₁: $\sqrt{3} x$ + y – 4 = 0 là $\vec{n_{1}} = (\sqrt{3}; 1)$ và của ∆₂: x + $\sqrt{3} y$ + 3 = 0 là $\vec{n_{2}} = (1; \sqrt{3})$ .

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Ta có:

cosφ = $|\cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}})| = \frac{|\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| . |\vec{n_{2}}|} = \frac{|\sqrt{3} .1 + 1. \sqrt{3}|}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}} = \frac{2 \sqrt{3}}{2.2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Do đó, góc giữa ∆₁ và ∆₂ là φ = 30°.

b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁ là $\vec{u_{1}} = (2; 4)$ , của đường thẳng d₂ là $\vec{u_{2}} = (1; - 3)$ .

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là $\vec{n_{1}} = (4; - 2)$ , của đường thẳng d₂ là $\vec{n_{2}} = (3; 1)$ .

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂. Ta có:

cosα = $|\cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}})| = \frac{|\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| . |\vec{n_{2}}|} = \frac{|4.3 + (- 2) .1|}{\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{20} . \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó, góc giữa d₁ và d₂ là α = 45°.

Bài 7.9 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆.

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là: d(A, ∆) = $\frac{|0 + (- 2) - 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2}$ .

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là $3 \sqrt{2}$ .

b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{Δ}} = (1; 1)$ .

Do a // ∆, nên vectơ pháp tuyến của a là $\vec{n_{a}} = \vec{n_{Δ}} = (1; 1)$ .

Đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{a}} = (1; 1)$ , do đó phương trình đường thẳng a là: 1(x + 1) + 1(y – 0) = 0 hay x + y + 1 = 0.

c) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{Δ}} = (1; - 1)$ .

Do b ⊥ ∆, nên vectơ pháp tuyến của b là $\vec{n_{b}} = \vec{u_{Δ}} = (1; - 1)$ .

Đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{b}} = (1; - 1)$ , do đó phương trình đường thẳng b là: 1(x – 0) – 1(y – 3) = 0 hay x – y + 3 = 0.

Bài 7.10 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

a) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác ABC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Ta có: $\vec{B C} = (- 2 - 3; - 1 - 2) = (- 5; - 3)$ .

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là $\vec{u} = - \vec{B C} = (5; 3)$ .

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là $\vec{n} = (3; - 5)$ .

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 2) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; - 5)$ , do đó phương trình đường thẳng BC là: 3(x – 3) – 5(y – 2) = 0 hay 3x – 5y + 1 = 0.

Khi đó khoảng cách từ A đến BC là:

d(A, BC) = $\frac{|3.1 - 5.0 + 1|}{\sqrt{3^{2} + 5^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{34}} = \frac{2 \sqrt{34}}{17}$ .

Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là h = $\frac{2 \sqrt{34}}{17}$ .

b) Ta có: BC = $|\vec{B C}| = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{34}$ .

Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2} h . B C = \frac{1}{2} . \frac{2 \sqrt{34}}{17} . \sqrt{34} = 2$ (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 2 đvdt.

Bài 7.11 trang 41 Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = – 1.

Lời giải:

Ta có: y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0 hay d: ax – y + b = 0 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\vec{n} = (a; - 1)$ .

Lại có: y = a'x + b' ⇔ a'x – y + b' = 0 hay d': a'x – y + b' = 0 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d' là $\vec{n^{'}} = (a'; - 1)$ .

Hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau khi $\vec{n} ⊥ \vec{n^{'}} \Leftrightarrow \vec{n} . \vec{n^{'}} = 0 \Leftrightarrow a . a' + (- 1) . (- 1) = 0$

$\Leftrightarrow a . a' + 1 = 0 \Leftrightarrow a . a' = - 1$ .

Vậy d ⊥ d' ⇔ aa' = – 1.

Bài 7.12 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Lời giải:

Gọi H(a; b) là vị trí tín hiệu âm thanh phát đi.

Vì ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận tín hiệu từ H phát đi tại cùng một thời điểm nên HO = HA = HB.

Ta có: $\vec{H O} = (- a; - b)$ , $\vec{H A} = (1 - a; - b)$ , $\vec{H C} = (1 - a; 3 - b)$ .

Do đó: $H O = \sqrt{{(- a)}^{2} + (- b^{2})} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , $H A = \sqrt{{(1 - a)}^{2} + {(- b)}^{2}} = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + b^{2}}$ , $H C = \sqrt{{(1 - a)}^{2} + {(3 - b)}^{2}} = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + {(b - 3)}^{2}}$ .

Vì HO = HA nên $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + b^{2}}$ $\Rightarrow a^{2} + b^{2} = {(a - 1)}^{2} + b^{2}$

⇔ a² = a² – 2a + 1 ⇔ 2a = 1 ⇔ a = $\frac{1}{2}$ .

Vì HA = HB nên $\sqrt{{(a - 1)}^{2} + b^{2}} = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + {(b - 3)}^{2}}$

$\Rightarrow {(a - 1)}^{2} + b^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b - 3)}^{2}$

⇔ b² = b² – 6b + 9 ⇔ 6b = 9 ⇔ b = $\frac{3}{2}$ .

Thay a = $\frac{1}{2}$ và b = $\frac{3}{2}$ vào các phương trình ta thấy đều thỏa mãn.

Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là tại điểm H có tọa độ $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ .

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯

<<<<<<< HEAD ======= >>>>>>> 7de0ce75c76253c52280308e94cf2d713ccea5e2

Giải Toán 10 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 41 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 41 Tập 2 Kết nối tri thức

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: