Giải Toán 10 trang 54 Tập 1 Kết nối tri thức

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 10 trang 54 Tập 1 trong Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ Toán lớp 10 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 54.

Giải Toán 10 trang 54 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 54 Toán 10 Tập 1: Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260kg) lên một con dốc nghiêng 30⁰ so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?

Chú ý: Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\overrightarrow{P}$ (có độ lớn $\left|\overrightarrow{P}\right|=22148N$, có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực $\overrightarrow{\text{W}}$ (có độ lớn $\left|\overrightarrow{\text{W}}\right|=\left|\overrightarrow{P}\right|cos{30}^0$ phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo $\overrightarrow{F}$ (theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc).

Lời giải:

Xét ΔOBC vuông tại O, có:

OC = sin30.BC = |P|sin30⁰.

Ta có khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\overrightarrow{P}$, phản lực $\overrightarrow{\text{W}}$ và lực kéo $\overrightarrow{F}$. Đề kéo được khẩu pháo đi lên ta cần lực $\overrightarrow{F}$ thỏa mãn điều kiện: $\left|\overrightarrow{F}\right|>\left|\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}\right|$

Mặt khác $\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{OC}\iff \left|\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|$

$=\left|P\right|\sin {30}^0=22148.\sin {30}^0=11074N$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F}\right|>11074N$

Ta có: 11 074 : 100 = 110,74 

Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu số người để kéo pháo là 111 người.

Vậy ta cần một lực kéo lớn hơn 11 074N để kéo khẩu pháo đi lên và nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên.

Bài 4.6 trang 54 Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0};$

b) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD};$

Lời giải:

a) Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\right) \\ =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0} \end{gathered}$$

b) Ta có: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$ (quy tắc hiệu)

$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}.$

Bài 4.7 trang 54 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Tìm mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành)

Ta cần tìm điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BM}$

⇔ ACMB là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}$

Mà $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{DC}$ hay $\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{CD}$

Suy ra $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$ là hai vecto đối nhau.

Bài 4.8 trang 54 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài các vecto $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=a$

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành)

Gọi M là giao điểm của AD và BC

⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)

Xét ΔABC, có:

AB² = AM² + BM² (định lí Py – ta – go)

⇒ AM² = AB² – BM²

= $A{B}^2-{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AD=2AM=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{3}$

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=a,\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{3}$.

Bài 4.9 trang 54 Toán 10 Tập 1: Hình 4.19 biểu diễn hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ cùng tác động lên một vật, cho $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=3N,\left|\overrightarrow{F_2}\right|=2N.$ Tính độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$.

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Trong đó ABCD là hình bình hành

$\Rightarrow \widehat{ADC}={60}^0$

Ta có: $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=3$, $\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|=2$

$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$

Xét ΔADC, có:

AC² = AD² + DC² – 2AD.DC.cosD

        = 3² + 2² – 2.3.2.cos60⁰

        = 7

$\Rightarrow AC=\sqrt{7}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\sqrt{7}$

Vậy độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ là $\sqrt{7}$.

Bài 4.10 trang 54 Toán 10 Tập 1: Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn giữ được lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Lời giải:

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂ (H.4.17). Giả sử tàu 1 xuất phát từ A' ∈ d₁ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi $\overrightarrow{v_r}$ và $\overrightarrow{v_n}$ lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B’, C’ là các điểm sao cho $\overrightarrow{v_r}=\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}},\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{C\text{'}B\text{'}}.$

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là

${\overrightarrow{v}}_1=\overrightarrow{v_r}+\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}+\overrightarrow{C\text{'}B\text{'}}=\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}.$

Xét ΔA’B’C’, có: $\widehat{A\text{'}C\text{'}B\text{'}}=\alpha$ (hai góc so le trong)

${\left|\overrightarrow{v_1}\right|}^2={\left|\overrightarrow{v_r}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{v_n}\right|}^2-2\left|\overrightarrow{v_r}\right|.\left|\overrightarrow{v_n}\right|\text{cos}\alpha$

Giả sử tàu 2 xuất phát từ A ∈ d₁ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi $\overrightarrow{v_r}$ và $\overrightarrow{v_n}$ lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B, C là các điểm sao cho $\overrightarrow{v_r}=\overrightarrow{AC},\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{CB}.$

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_r}+\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}.$

Xét ΔABC, có: $\widehat{ABC}={180}^0-\alpha$

Vì độ dài hai quãng đường AN và A’M’ của tàu 2 và tàu 1 chênh nhau không đáng kể nên ta coi nó bằng nhau. Do đó vì vận tốc tàu 2 lớn hơn tàu 1 nên tàu 2 là tàu đi qua bờ bên kia trước.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ Kết nối tri thức hay khác:

• Giải Toán 10 trang 51
• Giải Toán 10 trang 52
• Giải Toán 10 trang 53