Giải Toán 10 trang 65 Tập 1 Kết nối tri thức

❮ Bài trước Bài sau ❯

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 10 trang 65 Tập 1 trong Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ Toán lớp 10 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 65.

Giải Toán 10 trang 65 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.16 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1;3), N(4;2).

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Lời giải:

a) Ta có M(1;3) $\Rightarrow \vec{O M} (1; 3) \Rightarrow O M = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10} .$

Ta lại có N(4;2)

$\Rightarrow \vec{O N} (4; 2) \Rightarrow O N = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} .$

$\Rightarrow \vec{M N} = \vec{O N} - \vec{O M} = (- 3; 1)$

$\Rightarrow M N = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$

b) Xét tam giác OMN, có: $O M = O N = \sqrt{10}$ nên tam giác OMN cân tại O.

Ta có:

$O N^{2} = {(2 \sqrt{5})}^{2} = 20, O M^{2} + O N^{2}$

$= {(\sqrt{10})}^{2} + {(\sqrt{10})}^{2} = 20$

$\Rightarrow O N^{2} = O M^{2} + O N^{2}$

Theo định lí Py – ta – go đảo suy ra tam giác OMN vuông tại O.

Do đó tam giác OMN vuông cân tại O.

Bài 4.17 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vecto $\vec{a} = 3 \vec{i} - 2 \vec{j}, \vec{b} (4; - 1)$ và các điểm M(-3;6), N(3;-3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vecto $\vec{M N}$ và $2 \vec{a} - \vec{b} .$

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x;y) để OMPN là hình bình hành.

Lời giải:

a) Vì $\vec{a} = 3 \vec{i} - 2 \vec{j}$ nên $\vec{a} = (3; - 2)$

$\Rightarrow 2 \vec{a} = (6; - 4)$

$\Rightarrow 2 \vec{a} - \vec{b} = (6 - 4; - 4 + 1)$

$= (2; - 3) = 2 \vec{i} - 3 \vec{j}$

Ta có:

$\vec{M N} (6; - 9) = 6 \vec{i} - 9 \vec{j} = 3 (2 \vec{i} - 3 \vec{j}) = 3 (2 \vec{a} - \vec{b})$

b) Ta có M(-3;6) $\Rightarrow \vec{O M} (- 3; 6)$

và N(3;-3) $\Rightarrow \vec{O N} (3; - 3)$

Hai vecto $\vec{O M} (- 3; 6), \vec{O N} (3; - 3)$ không cùng phương (vì $\frac{- 3}{3} \neq \frac{6}{- 3}$ ). Suy ra các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó O, M, N không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng

Để OMNP là hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{O M} = \vec{P N}$

Ta có: $\vec{O M} (- 3; 6), \vec{P N} (3 - x; - 3 - y)$ nên

$\{\begin{cases} - 3 = 3 - x \\ 6 = - 3 - y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 6 \\ y = - 9 \end{cases}$

$\Rightarrow P (6; - 9) .$

Vậy điểm cần tìm là P(6;-9).

Bài 4.18 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;3), B(2;4), C(-3;2).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A B} (1; 1), \vec{A C} (- 4; - 1)$

Hai vecto $\vec{A B} (1; 1), \vec{A C} (- 4; - 1)$ không cùng phương (vì $\frac{1}{- 4} \neq \frac{1}{- 1}$ ). Suy ra các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó A, B, C không thẳng hàng.

b) Gọi toạ độ điểm M là: M(x₁;y₁)

Vì M là trung điểm của AB nên ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} = \frac{1 + 2}{2} \\ y_{1} = \frac{3 + 4}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = \frac{3}{2} \\ y_{1} = \frac{7}{2} \end{cases}$

$\Rightarrow M (\frac{3}{2}; \frac{7}{2}) .$

Vậy điểm cần tìm là $M (\frac{3}{2}; \frac{7}{2})$ .

c) Gọi toạ độ điểm G là: M(x₂;y₂)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\{\begin{cases} x_{2} = \frac{1 + 2 + (- 3)}{3} \\ y_{2} = \frac{3 + 4 + 2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = 0 \\ y_{1} = 3 \end{cases} \Rightarrow G (0; 3) .$

Vậy tọa độ điểm G(0;3).

d) Để O(0;0) là tọa độ trọng tâm tam giác ABD thì:

$\{\begin{cases} 0 = \frac{1 + 2 + x}{3} \\ 0 = \frac{3 + 4 + y}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 3 = 0 \\ y + 7 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 3 \\ y = - 7 \end{cases}$

Vậy D(-3;-7) thì O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.

Bài 4.19 trang 65 Toán 10 Tập 1: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(1;2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vecto $\vec{v} = (3; 4) .$ Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Lời giải:

Gọi A’(x’; y’) là vị trí tàu thủy đến sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Khi đó, ta có:

$\{\begin{cases} x' = 1 + 1, 5.3 \\ y' = 2 + 1, 5.4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x' = 5, 5 \\ y' = 8 \end{cases} \Rightarrow A' (5, 5; 8)$