Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 10 trang 68 Tập 1 trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Toán lớp 10 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 68.

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ2 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho hai vecto cùng phương $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right).$ Hãy kiểm tra công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$ theo từng trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0};$

b) $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0;$

c) $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và k < 0. 

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\right.$

Mà $\overrightarrow{0}$ vuông góc với mọi vecto nên ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

Ta lại có:

 $k\left(x^2+y^2\right)=k\left(0^2+0^2\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$

Vậy với $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ công thức đã cho đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng hướng

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0^0$

Ta có:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{{\left(kx\right)}^2+{\left(ky\right)}^2}\text{.cos}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\left|k\right|\left(x^2+y^2\right).c\text{os}{0}^0=k\left(x^2+y^2\right).$

Vậy với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0$ công thức đã cho đúng.

c) Vì k < 0 nên hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ ngược hướng

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={180}^0$

Ta có:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{{\left(kx\right)}^2+{\left(ky\right)}^2}\text{.cos}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\left|k\right|\left(x^2+y^2\right).c\text{os18}{0}^0$

$=-k\left(x^2+y^2\right)\left(-1\right)=k\left(x^2+y^2\right).$

Vậy với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và k < 0 công thức đã cho đúng.

HĐ3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vecto không cùng phương $\overrightarrow{u}\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{v}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$.

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}.$

b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải:

a) Vì $\overrightarrow{u}\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$ nên A(x;y)

Vì $\overrightarrow{v}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$ và $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}$ nên B(x’;y’)

b) Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}\left(x\text{'}-x;y\text{'}-y\right)\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2} \\ \iff A{B}^2={\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2. \end{gathered}$$

$\overrightarrow{OA}=\left(x;y\right)\Rightarrow OA=\sqrt{x^2+y^2}\iff O{A}^2=x^2+y^2.$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{OB}=\left(x\text{'};y\text{'}\right)\Rightarrow OB=\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2} \\ \iff O{B}^2=x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2. \end{gathered}$$

c) Theo định lí Cô sin, ta có:

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2}$

$=\frac{x^2+y^2+x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2-{\left(x\text{'}-x\right)}^2-{\left(y\text{'}-y\right)}^2}{2}$

$=\frac{2xx\text{'}+2yy\text{'}}{2}=xx\text{'}+yy\text{'}$

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u}\left(0;-5\right),\overrightarrow{v}\left(\sqrt{3};1\right)$

Lời giải:

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.\sqrt{3}-5.1=-5.$

Ta lại có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.cos\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)$

$\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{-5}{5.2}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)={120}^0.$

Vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-5$ và góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ bằng 120⁰.

HĐ4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vecto  

$\overrightarrow{u}\left(x_1;y_1\right),\overrightarrow{v}\left(x_2;y_2\right),\overrightarrow{w}\left(x_3;y_3\right).$

a) Tính $\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}}\right),\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}$ theo tọa độ các vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{\text{w}}.$

b) So sánh $\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}}\right)$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}$.

c) So sánh $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(x_2+x_3;y_2+y_3\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=x_1.\left(x_2+x_3\right)+y_1\left(y_2+y_3\right)$

$=x_1{x}_2+x_1{x}_3+y_1.y_2+y_1.y_3$ (1)

Ta có:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2,\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_3+y_1.y_3$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$ (2)

b) Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}.$

c) Ta có: 

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2;\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=x_2.x_1+y_2.y_1$

$=x_1.x_2+y_1.y_2.$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.$

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Kết nối tri thức hay khác:

• Giải Toán 10 trang 66
• Giải Toán 10 trang 67
• Giải Toán 10 trang 70