Bài 6 trang 94 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi α là số đo của góc nhị diện [A, BC, S]. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và SBC bằng cosα.

Giải Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện - Cánh diều

Bài 6 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi α là số đo của góc nhị diện [A, BC, S]. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và SBC bằng cosα.

Lời giải:

Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC).

Vì SA ⊥ (ABC) và BC ⊂ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Ta có: AH ⊥ BC, SA ⊥ BC và AH ∩ SA = A trong (SAH).

Suy ra BC ⊥ (SAH).

Mà SH ⊂ (SAH) nên BC ⊥ SH.

Ta có: AH ⊥ BC, SH ⊥ BC và AH ∩ SH = H ∈ BC.

Suy ra $\widehat{SHA}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BC, S], tức $\widehat{SHA}=\alpha .$

Vì SA ⊥ (ABC) và AH ⊂ (ABC) nên SA ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại A (do SA ⊥ AH) có:

$\cos \alpha =\cos \widehat{SHA}=\frac{AH}{SH}.$

Diện tích tam giác ABC (có AH ⊥ BC) là: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AH.BC.$

Diện tích tam giác SBC (có SH ⊥ BC) là: $S_{\Delta SBC}=\frac{1}{2}SH.BC.$

$\Rightarrow \frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta SBC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BC}{\frac{1}{2}SH.BC}=\frac{AH}{SH}=\cos \widehat{SHA}=\cos \alpha .$

Vậy tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và SBC bằng cosα.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 89 Toán 11 Tập 2: Hình 32 biểu diễn một chiếc gậy dựa vào tường. Bạn Hoa nói góc nghiêng giữa chiếc gậy và mặt đất bằng 65°.....

• Hoạt động 1 trang 89 Toán 11 Tập 2: Quan sát Hình 32 và cho biết: Hình chiếu của đường thẳng MO trên mặt phẳng (P) là đường thẳng nào; ....

• Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 Tập 2: Giả sử ở những giây đầu tiên sau khi cất cánh, máy bay chuyển động theo một đường thẳng tạo với mặt đất một góc 20° và có tốc độ 200 km/h...

• Hoạt động 2 trang 91 Toán 11 Tập 2: Quan sát hình ảnh một quyển sổ được mở ra (Hình 35), mỗi trang sổ gợi nên hình ảnh của một nửa mặt phẳng. Nêu đặc điểm của hai nửa mặt phẳng đó. ....

• Luyện tập 2 trang 91 Toán 11 Tập 2: Trong không gian cho hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau theo giao tuyến d. Hai mặt phẳng (α), (β) tạo nên bao nhiêu góc nhị diện có cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d?...

• Hoạt động 3 trang 92 Toán 11 Tập 2: Cho góc nhị diện có hai mặt là hai nửa mặt phẳng (P), (Q) và cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d.....

• Luyện tập 3 trang 93 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Tính số đo của mỗi góc nhị diện sau:....

• Bài 1 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a và AC = a. ....

• Bài 2 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O, SO ⊥ (ABCD), tam giác SAC là tam giác đều.....

• Bài 3 trang 94 Toán 11 Tập 2: Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang...

• Bài 4 trang 94 Toán 11 Tập 2: Trong Hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính....

• Bài 5 trang 94 Toán 11 Tập 2: Trong Hình 43, xét các góc nhị diện có góc phẳng nhị diện tương ứng là $\widehat{B},\widehat{\text{\hspace{0.17em}}C},\widehat{D},\widehat{E}$ trong cùng mặt phẳng....