Giải Toán 11 trang 15 Tập 1 Cánh diều


Với Giải Toán 11 trang 15 Tập 1 trong Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác Toán lớp 11 Tập 1 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 15.

Giải Toán 11 trang 15 Tập 1 Cánh diều

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằngπ2;7π6;π6 .

Lời giải:

• Ta có OA,OM=α=π2 là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc π2, khi đó tia OM trùng với tia OB.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho OA,OM=α=π2 được biểu diễn trùng với điểm B.

• Ta có (OA,ON)=β=7π6=π+π6 là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc 7π6.

• Ta có (OA,OP) = γ=π6 là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc π6.

Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn nhu hình vẽ dưới đây:

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225°; ‒225°; ‒1 035°; 5π3;19π2;159π4.

Lời giải:

‒ Các giá trị lượng giác của góc 225°:

Ta có: cos225° = cos(45° + 180°)= ‒cos45° = 22;

sin225° = sin(45° + 180°) = sin45° ==22 ;

tan225° = tan(45° + 180°) = tan45° = 1;

cot225° = cot(45° + 180°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒225°:

Ta có: cos(‒225°) = cos225° = 22;

sin(‒225°) = ‒sin225° = 22=22;

tan(‒225°) = ‒tan225° = ‒1;

cot(‒225°) = ‒cot225° = ‒1;

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒1 035°:

Ta có: cos(‒1 035°) = cos(3 . 360° + 45°) = cos45° = 22;

sin(‒1 035°) = sin(3 . 360° + 45°) = sin45° =22 ;

tan(‒1 035°) = tan(3 . 360° + 45°) = tan45° = 1;

cot(‒1 035°) = cot(3 . 360° + 45°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc 5π3:

Ta có: cos5π3=cos2π3+π=cos2π3=12=12;

sin5π3=sin2π3+π=sin2π3=32 ;

tan5π3=tan2π3+π=tan2π3=3 ;

cot5π3=cot2π3+π=cot2π3=33 .

‒ Các giá trị lượng giác của góc 19π2 :

Ta có: cos19π2=cos9π+π2=cosπ+π2=cosπ2=0 ;

sin19π2=sin9π+π2=sinπ+π2=sinπ2=1 ;

Do cos19π2=0 nên tan19π2 không xác định;

cot19π2=cot9π+π2=cotπ+π2=cotπ2=0 .

‒ Các giá trị lượng giác của góc 159π4 :

Ta có: cos159π4=cos40π+π4=cosπ4=22;

sin159π4=sin40π+π4=sinπ4=22 ;

tan159π4=tan40π+π4=tanπ4=1;

cot159π4=cot40π+π4=cotπ4=1 .

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

a) π3+k2π k;

b) kπ (k ℤ);

c) π2+kπ k;

d) π4+kπ k.

Lời giải:

a) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác π3+k2π k:

cosπ3+k2π =cosπ3=12 ;

sinπ3+k2π =sinπ3=32;

tanπ3+k2π =tanπ3=3;

cotπ3+k2π =cotπ3=33.

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ (k ℤ):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

• cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;

• sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;

• tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;

• Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

• cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.

• sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.

• tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.

• Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định;

cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.

c) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác π2+kπ k:

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

cosπ2+kπ =cosπ2+2nπ =cosπ2=0;

sinπ2+kπ =sinπ2+2nπ =sinπ2=1;

• Do cosπ2+kπ =0 nên tanπ2+kπ không xác định;

cotπ2+kπ =cotπ2+2nπ =cotπ2=0.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

cosπ2+kπ =cosπ2+2nπ +π=cosπ2 +π=cosπ2=0 ;

sinπ2+kπ =sinπ2+2nπ +π=sinπ2+π=sinπ2=1;


• Do cosπ2+kπ =0 nên tanπ2+kπ không xác định;

cotπ2+kπ =cotπ2+2nπ +π=cotπ2 +π=cotπ2=0.

Vậy với k thì cosπ2+kπ =0;cotπ2+kπ =0;

tanπ2+kπ không xác định;

sinπ2+kπ =1 khi k là số chẵn và sinπ2+kπ =1 khi k là số lẻ.

d) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác π4+kπ k :

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

cosπ4+kπ=cosπ4+2nπ =cosπ4=22 ;

sinπ4+kπ=sinπ4+2nπ =sinπ4=22;

tanπ4+kπ=tanπ4+2nπ =tanπ4=1;

cotπ4+kπ =cotπ4+2nπ =cotπ4=1.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

cosπ4+kπ =cosπ4+2nπ +π=cosπ4 +π=cosπ4=22

sinπ4+kπ =sinπ4+2nπ +π=sinπ4+π=sinπ4=22;

tanπ4+kπ =tanπ4+2nπ +π=tanπ4+π=tanπ4=1;

cotπ4+kπ =cotπ4+2nπ +π=cotπ4 +π=cotπ4=1.

Vậy với k thì:

cosπ4+kπ=22 khi k là số nguyên chẵn, cosπ4+kπ=22 khi k là số nguyên lẻ;

sinπ4+kπ=22 khi k là số nguyên chẵn, sinπ4+kπ=22 khi k là số nguyên lẻ;

tanπ4+kπ =1; cotπ4+kπ =1.

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) sinα=154với π2<α<π;

b) cosα=23 với π<α<0 ;

c) tanα = 3 với ‒π < α < 0;

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Lời giải:

a) Do π2<α<π nên cosα < 0.

Áp dụng công thức sin2α + cos2α = 1, ta có:

1542+cos2α=1

cos2α=11542=11516=116

cosα=14 (do cosα < 0).

Ta có: tanα=sinαcosα=15414=15 ;

cotα=1tanα=115=1515 .

Vậy cosα=14 ; tanα=15cotα=1515.

b) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin2α + cos2α = 1, ta có:

sin2α+232=1

sin2α=1232=149=59.

sinα=53 (do sinα < 0).

Ta có: tanα=sinαcosα=5323=152;

cotα=1tanα=1152=215=21515.

Vậy sinα=53 ; tanα=152cotα=21515.

c) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có cotα=1tanα=13.

Áp dụng công thức 1+tan2α=1cos2α, ta có

1+32=1cos2α hay1cos2α=10

cos2α=110cosα=1010 (do cosα > 0).

Áp dụng công thức 1+cot2α=1sin2α , ta có:

1+132=1sin2αhay 1sin2α=109

sin2α=910sinα=310=31010 (do sinα < 0).

Vậy sinα31010 ; cosα=1010; cotα=13.

Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính:

a) A = sin25° + sin210° + sin215° + ... + sin285° (17 số hạng).

b) B = cos5° + cos10° + cos15° + ... + cos175° (35 số hạng).

Lời giải:

a) Ta có:

A = sin25° + sin210° + sin215° + ... + sin280°+ sin285° (17 số hạng).

= (sin2+ sin285°) + (sin210° + sin280°) + … + (sin240° + sin250°) + sin245°

= (sin2+ cos2) + (sin210° + cos210°) + … + (sin240° + cos240°) + sin245°

=1+1+...+18 so 1+222

=8+12=172.

b) Ta có:

B = cos5° + cos10° + cos15° + ... + cos170° + cos175° (35 số hạng).

= (cos5° + cos175°) + (cos10° + cos170°) + … + (cos85° + cos95°) + cos90°

= (cos5° ‒ cos5°) + (cos10° ‒ cos10°) + … + (cos85° ‒ cos85°) + cos90°

=0+0+...+017 so 0+0=0 .

Bài 6 trang 15 Toán 11 Tập 1: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 h.

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1 h; 3 h; 5 h.

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Giả sử vệ tinh được định tại vị trí A, chuyển động quanh Trái Đất được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Bài 6 trang 15 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

a) Vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo tức là vệ tinh chuyển động được quãng đường bằng chu vi của quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.

Do đó quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 2 h là:

2π . 9 000 = 18π (km).

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1 h là: 18π2.1=9π km.

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 3 h là: 18π2.3=27π km.

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 5 h là: 18π2.5=45π km.

b) Ta thấy vệ tinh chuyển động được quãng đường là 9π (km) trong 1h.

Vậy vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km trong thời gian là: 200 0009π7074(giờ).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác Cánh diều hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: