Lý thuyết Toán lớp 12 Tích phân - Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn tóm tắt lý thuyết Toán 12 Bài 3: Tích phân sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán lớp 12 Tích phân - Cánh diều

Lý thuyết Tích phân

1. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Chú ý:

+ Kí hiệu ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$  và đọc là F(x) thế cận từ a đến b.

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ .

Gọi:$\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

+ Ta quy ước: $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0;\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

+ Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$ .

Ví dụ 1. Tính:

a) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}2xdx$ ;

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}2xdx$$={\left.x^2\right|}_2^3$  = 3² – 2² = 5. 

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx$$={\left.e^x\right|}_1^2$  = e² – e¹ = e² – e.

2. Tính chất của tích phân

● Tính chất 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (k là hằng số).

Ví dụ 2. Cho $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-3$ . Tính $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}5f\left(x\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}5f\left(x\right)dx=5\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=5\cdot \left(-3\right)=-15$ .

● Tính chất 2: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$;

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 3. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-1\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-1\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx-\underset{0}{\overset{2}{\int }}1dx$$={\left.\frac{x^3}{3}\right|}_0^2+{\left.\frac{x^2}{2}\right|}_0^2-{\left.x\right|}_0^2$

                                    $=\left(\frac{8}{3}-0\right)+\left(\frac{4}{2}-0\right)-\left(2-0\right)=\frac{8}{3}$ .

● Tính chất 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử c là số thực tùy ý thuộc đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Ví dụ 4. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x-1\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x-1\right)dx$

 $={\left.\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|}_1^2$$=\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)-0\right]+\left[\left(\frac{4}{2}-2\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right]$= 1.

3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp

3.1. Tích phân của hàm số lũy thừa

Với α ≠ – 1, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx={\left.\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ .

Ví dụ 5. Tính:

a) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx$ ;

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\sqrt{3}}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx$$={\left.x^4\right|}_{-1}^1$ = 1⁴ – (– 1)⁴ = 0.

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\sqrt{3}}dx$$={\left.\frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}\right|}_1^2=\frac{2^{\sqrt{3}+1}-1^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}=\frac{2^{\sqrt{3}+1}-1}{\sqrt{3}+1}$.

3.2. Tích phân của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$

Với hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}dx={\left.\ln \left|x\right|\right|}_a^b=\ln \left|b\right|-\ln \left|a\right|$.

Ví dụ 6. Tính $\underset{2}{\overset{e}{\int }}\frac{6}{5x}dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $=\frac{6}{5}{\left.\ln \left|x\right|\right|}_2^e=\frac{6}{5}\left(\ln \left|e\right|-\ln \left|2\right|\right)=\frac{6}{5}\left(1-\ln 2\right)$ .

3.3. Tích phân của hàm số lượng giác

● $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx={\left.-\cos x\right|}_a^b=-\cos b-\left(-\cos a\right)=\cos a-\cos b$ .

● $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cos xdx={\left.\sin x\right|}_a^b=\sin b-\sin a$ .

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$  liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx={\left.-\cot x\right|}_a^b=-\cot b-\left(-\cot a\right)=\cot a-\cot b$.

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$  liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx={\left.\tan x\right|}_a^b=\tan b-\tan a$.

Ví dụ 7. Tính:

a) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\cos x-\sin x\right)dx$ ;

b) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\frac{4}{{\sin }^{2}x}-\frac{5}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

3.4. Tích phân của hàm số mũ

Với a > 0, a ≠ 1, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{a}^{x}dx={\left.\frac{a^x}{\ln a}\right|}_{\alpha }^{\beta }=\frac{a^{\beta }-a^{\alpha }}{\ln a}$ .

Chú ý: Áp dụng công thức trên, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{e}^{x}dx={\left.e^x\right|}_{\alpha }^{\beta }=e^{\beta }-e^{\alpha }$ .

Ví dụ 8. Tính:

a) $\underset{2}{\overset{4}{\int }}{5}^{x}dx$ ;

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2\cdot 3^x+e^x\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Bài tập Tích phân

Bài 1. Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{-5}{x^3}dx$ có giá trị bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{-5}{x^3}dx$$=-5\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{-3}dx={\left.-5\cdot \frac{x^{-2}}{-2}\right|}_1^2={\left.\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{x^2}\right|}_1^2$$=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{1^2}\right)=-\frac{15}{8}$ .

Bài 2. Nếu $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-3$  và $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=5$  thì $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$  bằng:

A. 8.

B. 2.

C. – 8.

D. – 15.

 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\left(-3\right)+5=2$ .

Bài 3. Cho $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3$, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] và F(– 2) = 5. Tính F(2).

Hướng dẫn giải

Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] nên ta có:

$\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_{-2}^2=F\left(2\right)-F\left(-2\right)$.

Mà $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3$ , F(– 2) = 5 nên suy ra F(2) = 3 + 5 = 8.

Bài 4. Tính:

Hướng dẫn giải

Bài 5. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái ô tô đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = – 5t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường bằng bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0, tức là – 5t + 20 = 0 hay t = 4 (giây).

Quãng đường mà ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:

$\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(-5t+20\right)dt={\left.\left(-\frac{5}{2}{t}^2+20t\right)\right|}_0^4=40$(m)

Học tốt Tích phân

Các bài học để học tốt Tích phân Toán lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Bài 3: Tích phân