Lý thuyết Toán 12 Cánh diều Học kì 2 (hay, chi tiết)

---

Haylamdo biên soạn tóm tắt lý thuyết Toán 12 Học kì 1 Cánh diều hay nhất, chi tiết bám sát nội dung từng bài học sgk Toán 12 Tập 2 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Học kì 2 - Cánh diều

Lý thuyết Nguyên hàm - Cánh diều

Lý thuyết Nguyên hàm

1. Khái niệm nguyên hàm

● Định nghĩa: Với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ, ta có:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Ví dụ 1. Hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}$ là nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}$ là nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ trên ℝ vì ${\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{\text{'}}=x^3$  với mọi x ∈ ℝ.

● Định lí:

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm H(x) của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho H(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Do (sin x)' = cos x nên sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Vậy mọi nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x đều có dạng sin x + C, với C là một hằng số.

● Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K được kí hiệu là

$\int f\left(x\right)dx$.

Nhận xét:

+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số. Vì vậy,

$\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$.

+ Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ta có: $\int F^{\text{'}}\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$ .

Chú ý: Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Nhận xét: $\int 0dx=C$ và nếu ta quy ước $\int 1dx=\int dx$ thì $\int dx=x+C$ .

Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng $\int k{x}^{3}dx=\frac{k}{4}{x}^4+C\left(k\ne 0\right)$ .

Hướng dẫn giải

Do ${\left(\frac{k}{4}{x}^4\right)}^{\text{'}}=k{x}^3$ nên $\frac{k}{4}{x}^4$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = kx³ trên ℝ.

Vậy $\int k{x}^{3}dx=\frac{k}{4}{x}^4+C\left(k\ne 0\right)$ .

2. Tính chất của nguyên hàm

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K.

● Tính chất 1: $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$ với k là hằng số khác 0.

● Tính chất 2:

$\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

$\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$

Ví dụ 4. Tìm $\int \left(3x^3-4x+7\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(3x^3-4x+7\right)dx$$=\frac{3}{4}\int \left(4x^3\right)dx-2\int \left(2x\right)dx+7\int dx$

$=\frac{3}{4}\int {\left(x^4\right)}^{\text{'}}dx-2\int {\left(x^2\right)}^{\text{'}}dx+7\int dx$$=\frac{3}{4}{x}^4-2x^2+7x+C$

................................

................................

................................