Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản - Chân trời sáng tạo

Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1: Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.

Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.

a) Hãy biểu thị y theo x.

b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là:

$S (x) = 500 + 4 x + \frac{1000}{x}$ .

c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; + ∞).

d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Lời giải:

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật cần chế tạo là: V = 2xy (cm³).

Theo bài ra ta có V = 500 cm³, khi đó 2xy = 500, suy ra y = $\frac{250}{x}$ .

b) Diện tích xung quanh của chiếc hộp là

S_xq = 2(x + y) ∙ 2 = 4(x + y) (cm²).

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là

S_tp = S_xq + 2S_đ = 4(x + y) + 2xy (cm²)

Lại có y = $\frac{250}{x}$ nên S_tp = $4 (x + \frac{250}{x}) + 2 x \cdot \frac{250}{x} = 4 x + \frac{1000}{x} + 500$ .

Vậy diện tích toàn phần của chiếc hộp là $S (x) = 500 + 4 x + \frac{1000}{x}$ .

c) Xét hàm số $S (x) = 500 + 4 x + \frac{1000}{x}$ với x ∈ (0; + ∞).

Ta có S'(x) = 4 – $\frac{1000}{x^{2}}$ ;

Trên khoảng (0; + ∞), S'(x) = 0 khi x = $5 \sqrt{10}$ .

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} S (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (500 + 4 x + \frac{1000}{x}) = + \infty$ ;

$\lim_{x \to + \infty} S (x) = \lim_{x \to + \infty} (500 + 4 x + \frac{1000}{x}) = + \infty$

Bảng biến thiên:

Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

d) Để dùng ít vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của chiếc hộp phải nhỏ nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ở câu c), ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng $500 + \frac{200 \sqrt{10}}{5}$ tại x = $5 \sqrt{10}$ .

Với x = $5 \sqrt{10}$ , ta có y = $\frac{250}{5 \sqrt{10}} = 5 \sqrt{10}$ .

Vậy kích thước 3 cạnh của chiếc hộp là 2 cm, $5 \sqrt{10}$ cm, $5 \sqrt{10}$ cm thì dùng ít vật liệu nhất.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản hay, chi tiết khác: